题目：一类三种群强耦合系统的非常数正平衡态

在化学、物理学和生物学中有很多问题,为了研究它们,我们需要建立各种数学模型,其中不少就用到了反应扩散方程.通过对反应扩散方程的研究,从而对我们的实际问题做出合理的解释与预测.也正是由于利用反应扩散方程可以对一些自然现象做出合理的解释和预测,越来越多的生物学家用它来解决实际问题.比如当种群的数量很大时,为了考察种群之间以及种群内部的相互作用和增长规律,生物学家就根据具体的情况,建立起竞争模型、互惠模型和捕食-食饵模型,通过数学的理论方法对这些模型进行研究,得到一些结论,比如当各个种群满足什么条件时,它们可以持久共存,或者某些种群走向灭亡,进而用这些结论来指导实际问题.
自从上个世纪20年代,A. J. Lotka 和 V. Volterra提出了经典的Lotka-Volterra模型以来,生物数学家就没有停止对它的探究.为了能够更好地反映和解释实际问题,生物学家通过对一些具体问题的深入研究,不断地改进数学模型,使得模型更加符合现实世界.本文在前人工作的基础上主要研究了一类由三种群捕食-食饵模型所产生的强耦合反应扩散系统在齐次Neumann 边界条件下的正平衡态问题,其中三个方程均含有交叉扩散项,具体模型如下

针对上述模型,本文着重研究了在一定条件下交叉扩散系数对非常数正平衡态解存在性的影响.首先,运用最大值原理和Harnack不等式,得到了该模型正平衡态解的先验估计;其次,利用Young 不等式和~Poincar'{e}不等式给出了当交叉扩散项消失的时候,即时,该模型没有非常数正平衡态解的条件;接着,借助于Leray-Schauder度理论,分别讨论了该模型非常数正平衡态解对交叉扩散项的依赖,证明了当分别取合适的值时,模型至少存在一个非常数正平衡态解;最后,以为分歧参数,给出了该模型在常数正平衡态解处的分歧,证明了当参数取合适的值时,由分歧出来的分歧解可以延伸至整体分歧.