题目：两类时滞生态模型的定性分析及Hopf分支问题

在生态学动力系统的研究中，各物种的长期行为为人们所关注. 许多学者对各种群的发展规律进行了大量的理论研究，建立了一系列能够反映各物种发展规律的数学模型，来描述与分析生态系统的动态过程和稳定状态，并对模型进行了定性分析和数值模拟，得到了许多重要的结论，为人们探索种群发展规律提供了理论依据.
?方程是生态系统中描述种群增长的基本模型

但这种描述种群密度变化的模型过于简单.考虑到大多数种群密度的变化会受到时滞和外界干扰的影响，且时滞和干扰对种群数量具有有效的控制作用.因此，本文研究了一类具有时滞干扰放养的广义单种群模型

的分支问题.利用分支理论，函数的单调性等方法得到了该模型正平衡态存在且唯一的充分条件，分支周期解存在的条件和近似表达式，给出实例并用软件绘出数值解的拟合图，分析了各参数对周期解的周期、振幅及正平衡态的影响.结果表明：维持生态平衡可以通过人为手段来实现，即可以寻找一定的控制方案(放养或收获)使种群持续生存.
在自然界中，多种生物种群彼此之间往往是相互作用的，因此，只有研究它们之间的相互作用关系，才能预测或控制各生物种群数量的变化规律.Lotka-Volterra模型是研究此现象的经典模型

既考虑了种群自身的发展规律，又考虑了种群间的相互影响.模型中参数和正负值的变化决定着生物种群间的关系，当时，模型中的两种群为捕食与被捕食关系，它是生物种群之间相互作用最常见的现象之一.在文献[2]中讨论了以下具有离散时滞的捕食与被捕食模型

的持久生存性.此模型中，在没有食饵种群的情况下，捕食者种群数目会下降，由此可见，捕食者种群的生存主要依赖于模型中的食饵种群.在此基础上，本文讨论了模型

的稳定性及分支问题. 利用特征值理论给出了正平衡态的存在唯一性与模型分支的存在性条件；根据中心流形定理和规范型理论分析了分支周期解的方向和稳定性；对模型中各参数赋值，利用软件绘出相应的数值解图形，通过讨论各参数变化对分支周期解的影响，并对定理的条件和结论进行了验证.