题目：开口膜泡的管形拓扑形状研究

目前物理学与生物学的结合已成为物理学发展的一个重要分支，生物学研究结构与功能，物理学研究结构与性质。细胞是生命形态结构和生命活动的基本单元，细胞膜是细胞生命活动的必须组分。正确认识生物膜的构形与功能，不仅对揭示生命活动的奥秘有重要意义，而且对解决医学、农业以及工业上的一些实际问题也有重要的指导作用。
由于电子显微镜技术在生物学中的应用，人们得以观察到细胞膜的微观结构，提出细胞膜由磷脂双亲分子及其内外表面附着的蛋白质组成这一结构模型。随着液晶的发现人们又认识到生物膜双分子层在生理温度时处于层状溶致液晶相。而且随着环境的改变，双亲分子在水溶液中所形成的闭合磷脂膜泡，其形状具有高度可变性。对膜泡形状的研究在过去的20年里取得了较大的进展。最初人们没有找到成功的理论处理方法，只能采用数值计算方法研究膜泡的形状，Ou-Yang的膜泡普适形状方程式的出现，为解析研究这一问题打开了崭新的一页。本文主要研究的是磷脂双层生物膜泡的周期性形状和两端对称的开口形状。
本文首先讨论由W. Helfrich的自发曲率弹性自由能出发，结合扩展的Delaunay曲面（这是由Ou-Yang等首次给出的Helfrich变分问题的解析特解），构造周期性解的问题。扩展的Delaunay曲面的平均曲率不恒定，它可以描述两类曲面，一类为周期性波形曲面，一类为周期性结点曲面。本文用数值计算的方法探讨了波形曲面。在做数值计算时，周期性的波形曲面与球形拓扑结构所采用的Euler-Lagrange方程最大的不同之处在于，球形拓扑结构中参数η为零，而周期性波形曲面中η不能取为零。然后根据扩展的Delaunay曲面形状方程和轴对称的膜泡形状普适方程，加入周期性边界条件数值求解，绘出了自发曲率取不同数值时的二维波形图，与实验观测到的周期性柱面膜泡类似。我们找到了振幅相同的波形，并且得出结论：随着自发曲率的增加，参数α的值逐渐减小，波形的周期也随之缩短。同时还找到了较大振幅和较小振幅交替出现的波形膜泡，规律与振幅相同的周期性波形膜泡一致，这一类型的波形膜泡只能在较小的自发曲率条件下出现。
其次，随着开口膜泡在实验上的发现,对开口膜泡形状的解析及数值研究逐渐成为该领域的一个热点。本文讨论了如何用解析方法由Ou-Yang双凹圆盘形闭合解构造开口膜泡的问题。在Tu和Ou-Yang得出的开口膜泡需要满足的三个边界条件的基础上，计算得到轴对称情况下这三个边界条件可以简化为两个独立的边界条件,而且又由于高斯测地曲率kg可影响开口处边缘的形状，给出在kg=-2时，又可将剩下的两个边界条件简化为一个，然后由边界条件得到了确定膜泡边界位置的几何方程。由这一几何方程可以看出，膜泡的切线方向与水平面的夹角ψ(s)的正切值小于零时，才会有开口膜泡解，因此只要在闭合膜泡或周期形膜泡上找到满足此条件的ψ(s)角的位置，就确定了由此闭合膜泡构造的开口膜泡的边界。进而讨论了由Ou-Yang双凹圆盘解可构造的开口膜泡的各种可能形状,得到了三类管形拓扑结构的形状,它们是外凸管形解、类环管形解和类悬链面管形解。并且给出了这三种开口膜泡解在闭合双凹盘形膜泡和周期形解上的位置。绘出了外凸管形解的能量和形状随线张力系数的变化关系，发现随着线张力系数的增大，该分支开口越来越小最后趋于闭合。并分析了上述三种管形拓扑结构的能量与线张力系数之间的关系，结果表明线张力系数越大，能量越高。