题目：L-坡代数

坡代数理论产生于控制论.简单地说,坡代数就是任意两个元素的乘积小于或等于每个因子的加法幂等半环.布尔代数、分配格等许多熟知的代数都是坡代数的特例.坡代数以及坡代数上的矩阵(即坡矩阵)理论在自动机理论、决策论、控制论、图论、神经系统等领域具有很好的应用前景.
本文主要研究坡代数的序方面以及范畴方面的性质,具体内容如下:
(1)定义L-子坡代数,坡代数中的L-理想,L-滤子以及坡代数上的L-同余关系的概念,并分别给出了他们的若干个等价刻画.
(2)研究L-子坡代数,L-理想,L-滤子,坡代数上的L-同余关系的运算.讨论L-子坡代数,坡代数的L-理想,L-滤子,坡代数上的L-同余关系在坡代数同态下的性质.证明了当L是frame时,L-子坡代数被坡代数同态保持,L-滤子被满坡代数同态保持,举例说明了L-理想与L-同余关系不被坡代数同态保持.定义了L-子坡代数 (resp.,L-理想,L-滤子,L-同余关系)的交,并运算,证明了坡代数X的任意一族L-子坡代数(resp.,L-理想,L-滤子,L-同余关系)的交仍是X的L-子坡代数?(resp.,L-理想,L-滤子,L-同余关系);当L为∧-连续格时,由X的L-子坡代数 (resp.,L-理想,L-滤子,L-同余关系)构成的定向族的并仍是X的L-子坡代数?(resp.,L-理想,L-滤子,L-同余关系).定义了L-子坡代数 (resp.,L-理想,L-滤子)的乘积和直和,证明了坡代数X上的任意一族L-子坡代数?(resp.,L-理想,L-滤子)的乘积和直和仍是X的L-子坡代数 (resp., L-理想,L-滤子);定义了坡代数上的L-同余关系的乘积,证明了坡代数X上的一族L-同余关系的乘积仍是X上的L-同余关系;定义了坡代数以及其上的L-子坡代数?(resp.,L-理想,L-滤子)的商,证明了坡代数X上的L-子坡代数 (resp., L-滤子)的商是X的商代数上的L-子坡代数 (resp., L-滤子).
(3)研究L-子坡代数,L-理想,L-滤子以及坡代数上的L-同余关系在序结构方面的性质.证明了(SIL(X), ≤) (坡代数X上所有L-子坡代数构成的集合), (IdL(X), ≤)? (坡代数X上所有L-理想构成的集合),和(FilL(X), ≤) (坡代数X上所有L-滤子构成的集合)都是完备的∧-连续子格.(EquL(X), ≤)? (坡代数X上所有L-等价关系构成的集合)和(ConL(X), ≤)? (坡代数(X上所有L-同余关系构成的集合)都是完备的∧-连续格,给出了(SIL(X), ≤) (resp., (IdL(X), ≤) , (FilL(X), ≤) , (EquL(X), ≤) 中一族元素的上,下确界的构造,以及(ConL(X), ≤) 中任意一族元素的下确界的构造.(4)研究L-理想,L-滤子与L-同余关系之间的对应.定义了坡代数上正则L-同余关系以及正规L-同余关系的概念,证明了当L是frame时,对于含有零元0的坡代数X,?(Id$(X, +, ast)$与(RConL(X), ≤)? (X上所有正则L-同余关系构成的集合)是同构的完备格,对于含有单位1的坡代数X,存在FilL(X)与NConL(X)(X上所有正规L-同余关系构成的集合)之间的一一对应.
(5)研究L-子坡代数,L-理想,L-滤子的范畴性质.定义了范畴L-SInc, L-Id,L-Fil,证明了当L为frame时,范畴L-Id,L-Fil是范畴L-SInc的反射满子范畴,给出了范畴L-SInc, L-Id,L-Fil中等子和乘积的构造,证明了它们均为范畴Inc上的拓扑范畴,且均有拉回.定义坡代数L-余塔,坡代数理想L-余塔,坡代数滤子L-余塔的概念,以及由所有坡代数L-余塔构成的范筹IncLC,所有坡代数理想L-余塔构成的范Inc_L^C|Id,和所有坡代数滤子L-余塔构成的范畴Inc_L^C|Fil,证明了当L是链且满足∨{b∈L|b范畴L-Fil与范畴Inc_L^C|Fil同构.