题目：带交叉扩散项的捕食-食饵模型解性质的分析

        生态资源是一种可再生资源.为使生态资源能持续为人类利用,就要考虑生态系统的平衡问题.生态资源的开发研究就是通过建立数学模型进行定性分析,从而预测其发展变化.由于捕食-食饵模型在生态学理论的研究中又具有非常重要的地位,因此,在过去的几十年里,经典的捕食-食饵模型已经被广泛研究.         由于种群间捕食关系的普遍存在性及复杂性,捕食-食饵模型更加受到国内外学的广泛关注.但是对于带齐次 Neumann边界的捕食-食饵模型,自扩散常常不能产生非常数正稳态解.因此,本文在模型中引进了一种交叉扩散,这种交叉扩散描述了由于被捕食者的群体保护作用,捕食者被迫避开大群的食物(被捕食者).这种现象在许多生态环境中是存在的.因此,对这类模型进行深入的研究具有十分重要的现实意义.        本文主要运用非线性分析和非线性偏微分方程的知识,特别是抛物型方程(组)和对应椭圆型方程(组)的理论和方法, 研究了带有扩散和交叉扩散的在齐次Neumann边界条件下的 Holling-Tanner 捕食-食饵生态模型.用最大值原理和Harnack不等式得出了此模型正平衡解上下界精确的先验估计,给出了正解图灵不稳定的充分条件,并且详细地研究了正解的存在性与不存在性.
        本文主要内容如下：
       第一章研究了带有一种交叉扩散项的模型.可分为三部分:第一部分运用最大值原理和Harnack不等式得到了模型解的先验估计;第二部分利用Poincar'{e}不等式和积分性质研究了非常数正解的不存在性.第三部分利用度理论讨论了非常数正解的存在性;得到了非常数正解存在的充分条件.
      第二章研究了带有两种交叉扩散项的模型.可分为四部分:第一部分讨论了模型解的先验估计;第二部分利用稳定性理论考察了图灵不稳定性;第三部分详细地讨论了当某个参数充分大或充分小时模型正解的存在性与不存在性;第四部分利用局部分歧理论获得了平衡态模型的正分歧解.