题目：算子代数上的几类线性映射

算子代数中,代数的结构是主要的研究课题之一.随着理论的发展,人们逐渐注意到算子代数的某些固有性质与代数上的映射有着密切的联系.为了进一步加深对算子代数的认识和理解, 越来越多的人们关注算子代数上一些映射的刻画问题. 其中,导子,Lie导子,保交换映射,强保交换映射及谱有界等映射倍受人们的关注,且已取得了一系列丰硕成果.本文在诸多文章研究的基础上,主要讨论了一类三角代数上的零点Lie可导映射,矩阵代数上保Jacobi等式的线性映射和$mathcal {B}(mathcal {H})$ 上一类本性谱有界线性映射的结构,具体内容如下:
第一章主要介绍了本文要用到的一些符号,定义以及本文要用到的一些已知结论和定理.第二节我们主要介绍可交换映射, 保交换映射, 强保交换映射, Lie同态, 三角代数等概念.第三节主要介绍了一些熟知的命题和定理.
第二章主要对一类三角代数上的零点Lie导映射进行了刻画.证明了这类代数上的每一个零点Lie导映射能分解成一个导子和可交换映射之和.
第三章我们引入保Jacobi等式的线性映射的概念,证明了全矩阵代数$ M_{n}(mathcal{R})$上的每一个保Jacobi等式的线性映射$phi$都具有形式:$phi(A)=lambda A+psi(A)I_{n}$,其中,$mathcal{R}$是一个含单位元的可交换2-无挠素环,$M_{n}(mathcal{R})$表示$mathcal{R}$上的$ n$阶全矩阵代数,$lambdainmathcal{R}$,线性映射$psi:M_{n}(mathcal{R})ightarrowmathcal{R}$及$I_{n}$是$M_{n}(mathcal{R})$中的单位矩阵.
第四章对$mathcal{B(H)}$上的一类本性谱有界算子进行了刻画.证明了$mathcal {B}(mathcal {H})$上的每个保单位元的线性满射$Phi$是本性谱有界且模紧算子的映射的充分必要条件是$Phi(mathcal {K}(mathcal {H}))subseteqmathcal {K}(mathcal {H})$且诱导映射$Psi$是Calkin代数上的连续同态或连续反同态.这里,$mathcal{H}$是一个无限维复Hilbert空间,$mathcal {B}(mathcal {H})$是$mathcal{H}$上的有界线性算子的全体.