题目：非可换逻辑代数NBR0和NBL*形式系统的研究

不同的模糊逻辑系统对应着不同的逻辑代数.早在1958年,著名的逻辑学家C.C.Chang为解决${L}$ukasiewicz逻辑系统的完备性引入了MV代数.1997年,王国俊教授基于对模糊逻辑与逻辑推理方面存在的问题的分析,提出了一种新的形式演绎系统--- $L^{*}$系统和与之相配的逻辑代数--- $R_{0}$代数.此后,吴洪博教授又创建了模糊逻辑系统基础$L^{*}(BL^{*})$和基础$R_{0}(BR_{0})$代数.以上理论的提出与研究,引起了人们极大的兴趣并取得丰硕的成果.在以上的模糊逻辑与推理的研究中,长期占主导地位的是所谓的t-模逻辑,而通常的t-模均要求t-模具有交换性.近年来受非可换线性逻辑(它在逻辑程序设计,计算机语言,模糊数据库等领域有着重要的应用)的影响,几个基于非可换t-模(也称伪t-模)的非可换逻辑系统相继提出.
基于以上的研究,本文提出了一类非可换逻辑代数$NBR_{0}$,它是$BR_{0}$代数中$otimes$算子非可换的推广,即要求$BR_{0}$代数中的$otimes$运算不满足交换律.在这个想法的基础上,本文一方面对$NBR_{0}$代数的内部结构做了进一步的研究,从而丰富了代数学的内容; 另一方面将$NBR_{0}$代数形式化.具体内容安排如下:
第一章  预备知识.本章给出将要用到的格论,剩余格,几类逻辑代数和Quantale理论的基本概念和结论.
第二章  非可换逻辑代数$NBR_{0}$上的Quantale结构.首先,给出非可换逻辑代数$NBR_{0}$的定义.其次,讨论了它与Quantale之间的关系,得到当$NBR_{0}$代数是完备格时,在其上存在一个Quantale结构.最后,证明了完备的Boole代数,完备的MV代数,完备的$R_{0}$代数以及完备的$BR_{0}$代数都是可换的Girard Quantale.
第三章  $NBR_{0}$代数的$oplus$运算及其性质.首先在$NBR_{0}$代数上定义运算$oplus$,研究了$oplus$运算的性质.其次讨论了带有$oplus$运算的$NBR_{0}$代数与另外一类Quantale---单位D-Quantale之间的关系,从而得到$NBR_{0}$代数的一个等价刻画.
第四章  $NBR_{0}$代数的剩余格结构.首先,在二,三章的基础上提出了两种剩余格 $NRL$和$CNRL$.其次,讨论了$CNRL$上的$lambda$结构和$gamma$结构,给出了$NBR_{0}$代数的$NRL$和$CNRL$表示. 最后,证明了 $NBR_{0}$代数的表示定理.
第五章  $NBL^{*}$模糊逻辑形式系统.首先将非可换逻辑代数$NBR_{0}$形式化,给出它的公理体系.其次证明了其上的完备性和广义演绎定理.