题目：求解鞍点问题的广义SAOR法及其收敛性分析

         对于线性方程组$Ax=b$的求解,主要有直接法求解和迭代法求解.对于阶数不太高的线性方程组,用直接法比较简便,高斯消元法是直接解法里最重要的解法.数学、物理以及力学等学科和工程技术中许多问题的最终解决都归结为一个或一些大型稀疏矩阵的线性方程组.随着电子计算机的出现和迅速发展,需要求解的问题的规模越来越大,大型线性方程组的求解是大规模科学与工程计算的核心,而对这种方程组一般采用迭代法求解.
       我们通常用的迭代法有Jacobi, Gauss-Seidel等古典迭代法, 还有SOR(successi-ve overrelaxation), AOR(accelerate overrelaxation), SSOR(symmetric successive ove-rrelaxation), SAOR(symmetric accelerate overrelaxation)等迭代法.研究迭代法的关键是迭代格式的收敛性和收敛速度.不收敛的格式当然不能用,虽然收敛但收敛很慢的格式不仅是人工和机器的时间比较浪费,而且还不一定能解出结果,实际应用价值太小.因此必须寻求收敛速度比较快的迭代格式以及确定格式中的某些参数,以便使得迭代格式的收敛速度越快越好.一般来说,迭代法的收敛性与方程组系数矩阵的性质有着密切的关系,例如非负阵$M$阵、$H$阵、相容次序矩阵等等.矩阵不同,迭代法的研究方法也会有所差异.因此,讨论某种迭代法时,往往是在指定矩阵类型的前提下进行的.此外,还有一些加速迭代法收敛的方法,如预条件,半迭代法等.最优参数的讨论是很多学者关心的问题,它的研究在方程组的求解上有着很重要的意义.            本文主要讨论了求解鞍点问题的广义SAOR迭代方法收敛的充要条件以及最优参数的选取.详细内容说明如下:          第一章,概述了一些基本迭代法的发展过程,同时介绍了近年来一些求解鞍点问题的方法以及研究最优参数的意义,最后说明了本文的主要研究工作.           第二章,预备知识.主要给出了本文所需要的基本知识及引理.例如正定对称阵,$M-$阵,$H-$阵,矩阵范数的定义以及著名的Perron-Frobenius定理等.         第三章,对于鞍点问题,提出了含有参数的广义SAOR迭代法(GSAOR).这种新方法是基于对方程组系数矩阵的分解,预处理矩阵$Q$的引入以及SAOR方法的迭代格式的运用,首先建立了GSAOR方法的迭代矩阵$T_{gamma,omega,alpha}$的特征值$lambda$ 和预处理矩阵$mathcal{J}=Q^{-1}B^{T}A^{-1}B$ 的特征值 $mu$,$mathcal {J}^{2}$的特征值$mu^{2}$  及参数之间所满足的基本关系式,然后着重讨论了$omega=gamma=1,omega=gamma$以及$gamma=2$时,GSAOR方法收敛的充分必要条件,并在一定条件下得到了最优参数和最优谱半径.      第四章,针对第三章定理的主要结果,给出了几个数值例子进行了相应的说明和验证.