题目：算子代数上的 Lie 映射和 Jordan 映射的研究

本文主要是对算子代数上的 Lie 映射和 Jordan 映射进行研究, 内容涉及三角代数上的非线性 Lie 导子, ?因子 von Neumann 代数上的非线性 $ast$-Lie 导子,因子 von Neumann 代数上的非线性保$ast$-Lie 积和保$xi$-$ast$-Lie 积的双射, CSL 代数上的 Lie 三重导子,三角代数上的 Jordan $( heta,phi)$-导子和完全矩阵代数上的广义 Jordan 导子. 全文共分为四章, 具体内容如下:
第一章首先介绍了本文选题的意义和背景, 然后介绍了本文后几章常用到的导子, 内导子, 三角代数, 套代数, ?von Neumann 代数的概念及结论.
第二章讨论了三角代数上的非线性 Lie 导子, 证明了三角代数上的每一个非线性 Lie 导子是一个可加的导子与一个使得换位子值为零的中心值映射的和.作为应用, 刻画了块上三角矩阵代数和套代数上的非线性 Lie 导子的具体形式.
第三章首先研究了因子 von Neumann 代数上的非线性$ast$-Lie导子, 证明了因子 von Neumann 代数上的每一个非线性$ast$-Lie导子都是一个可加的$ast$-导子.其次刻画了因子 von Neumann 代数上的非线性保 $ast$-Lie 积和保 $xi$-$ast$-Lie 积的双射.
第四章首先研究了 CSL 代数上的 Lie 三重导子. 得到 CSL 代数上的每一个 Lie 三重导子具有形式$L(X)=XT-TX+h(X)I.$其次讨论了三角代数上的Jordan $( heta,phi)$-导子, 证明了当代数${mathcalA},{mathcal B}$只有平凡幂等元时, 三角代数$mbox{Tri}({mathcalA},{mathcal M},{mathcal B})$上的每一个Jordan $( heta,phi)$-导子都是$( heta, phi)$-导子.最后刻画了完全矩阵代数上的广义 Jordan 导子,证明了完全矩阵代数上的每一个广义 Jordan 导子是导子与广义内导子之和.
本文所得到的主要结果包括以下几个方面:
(1) 设$mathcal{U}=mathrm{Tri}(mathcal{A},mathcal{M},mathcal{B})$是一个三角代数,$varphi:mathcal{U}ightarrowmathcal{U}$是一个非线性 Lie 导子. 如果$pi_{mathcal{A}}(Z(mathcal{U}))=Z(mathcal{A})$且$pi_{mathcal{B}}(Z(mathcal{U}))=Z(mathcal{B}),$则$varphi$是一个可加的导子与一个使得换位子值为零的中心值映射的和.
(2) 设$mathcal{H}$是复 Hilbert 空间且维数$dimmathcal{H}geq2$, $mathcal{M}$是$mathcal{H}$上的因子 von Neumann 代数. 如果$phi:mathcal{M}ightarrowmathcal{M}$是一个非线性$ast$-Lie 导子, 则$phi$是一个可加的$ast$-导子.
(3)? 设$mathcal{H}$是复 Hilbert 空间, $mathcal{H}$的维数$dimmathcal{H}geq 2.$设$mathcal{M}, mathcal{N}$是$mathcal{H}$上的两个因子 von Neumann 代数. 如果$phi:mathcal{M}ightarrowmathcal{N}$是一个双射, 且对任意的$A,Binmathcal{M}$满足$phi(AB-BA^*)=phi(A)phi(B)-phi(B)phi(A)^*,$则$phi$是一个线性或共轭线性的$*$-同构.
(4)? 设$mathcal{H}$是复 Hilbert 空间, $mathcal{H}$的维数$dimmathcal{H}geq 2.$设$mathcal{M},$ $mathcal{N}$是$mathcal{H}$上的两个因子 von Neumann 代数.$xiinmathbb{C}$且$xi
eq 0, 1.$ 如果$phi:mathcal{M}ightarrowmathcal{N}$是一个双射, 且对任意的$A,Binmathcal{M}$满足$phi(AB-xi BA^*)=phi(A)phi(B)-xiphi(B)phi(A)^*,$则$phi$是一个可加的映射.
(5) ?设$mathcal {L}$是复可分 Hilbert 空间$mathcal {H}$上的不相关的有限宽度的可交换子空间格(简称 CSL )且$dimmathcal{H}geq 3,$ $mathrm{Alg}mathcal{L}$是与$mathcal {L}$对应的 CSL 代数,$mathcal{M}$是任意一个$sigma$-弱闭的代数且包含$mathrm{Alg}mathcal{L}.$若$L:mathrm{Alg}mathcal{L}ightarrowmathcal{ M}$是一个 Lie 三重导子,则存在$Tinmathcal{M}$使得对任意的$Xinmathrm{Alg}mathcal{L},$有$L(X)=XT-TX+h(X)I,$其中$h$是从$mathrm{Alg}mathcal{L}$到$mathbb{C}$的线性映射且对任意的$A, B, Cinmathrm{Alg}mathcal{L}$满足$h([[A,B],C])=0.$
(6)? 设$mathcal{A},mathcal{B}$是2-无挠可交换环$mathcal{R}$上的只含有平凡幂等元的有单位元的代数,$mathcal{M}$是$(mathcal{A,B})$-忠实双边模且${mathcalU}=mbox{Tri}({mathcal A},{mathcal M},{mathcal B})$是三角代数.设$ heta,phi$是$mathcal{U}$的自同构, 则${mathcal U}$上的每一个Jordan $( heta, phi)$-导子都是$( heta, phi)$-导子.
(7)? 设$mathcal{A}$是满足结合律的有单位元的环,$mathcal{M}$是$mathcal{A}$的特征不为2的双边模.则从完全矩阵代数$M_{n}(mathcal{A})$到$M_{n}(mathcal{M})$的每一个广义Jordan 导子都是导子与广义内导子之和.