题目：两类反应扩散模型的解的性质

??????? 物理学、化学和生物学等自然学科中大量的数学模型可以归纳为反应扩散方程,通过研究反应扩散方程,可以科学地解释和预测自然现象,从而为问题的解决提供合理的途径,进而推动自然科学的发展;另外,反应扩散方程的研究对数学也提出了许多挑战性的问题,因此正引起越来越多的数学家、物理学家、化学家、生物学家和工程师的重视.??
??????? 本文主要讨论了两类反应扩散方程的解的性质,一类是具有功能反应的捕食-食饵模型$$ left{?egin{array}{ll}???? displaystyle? u_{t} - dDelta u = -au + e frac{cv^{2}}{(1 + v)^{2}} u,???????????????? & xinOmega, t>0,???? displaystyle? v_{t} -? Delta v = r (1 - frac{v}{K}) v - frac{cv^{2}}{(1 + v)^{2}} u, & xinOmega, t>0,???? vspace{0.2cm}???? displaystyle? frac{partial u}{partial n} = frac{partial v}{partial n} = 0,??????? & xinpartialOmega, t>0,???? displaystyle? u(x,0) = u_{0}(x)geq 0, v(x,0) = v_{0}(x)geq 0 ,???????????????????? & xinOmega, ?end{array}?ight. $$一类是具有扩散项的SIQS传染病模型$$ left{?egin{array}{ll}??? displaystyle? u_{1t} - dDelta u_{1} = A - frac{eta u_{1}u_{2}}{u_{1}+u_{2}+u_{3}} - bu_{1} + gamma u_{2} + sigma u_{3},? & xinOmega, t>0,??? vspace{0.1cm}??? displaystyle? u_{2t} - dDelta u_{2} = frac{eta u_{1}u_{2}}{u_{1}+u_{2}+u_{3}} - (gamma + delta + b + alpha) u_{2} ,?????? & xinOmega, t>0,??? vspace{0.2cm}??? displaystyle? u_{3t} - dDelta u_{3} = delta u_{2} - (sigma + b + alpha) u_{3},???????????????????????????????????????????? & xinOmega, t>0,??? vspace{0.2cm}??? displaystyle? frac{partial u_{1}}{partial n} = frac{partial u_{2}}{partial n} = frac{partial u_{3}}{partial n}=0,??? & xinpartialOmega, t>0,?u_{i}(x,0) = u_{i,0}(x) > 0,?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? & i = 1,2,3,xinoverline{Omega}. ?end{array}?ight. $$????????? 在第一章中,本文利用扰动理论和分歧理论的方法,讨论了一类具有功能反应的两物种间的捕食-食饵模型在Neumann边界条件下的分歧现象.以扩散系数为分歧参数,证明了在一定条件下系统在正常数平衡解$ (u^{*},v^{*}) $ 附近存在局部分歧,并给出了分歧点附近解的结构,且局部分歧可以延拓成全局分歧.
??????? 在第二章中,本文讨论了一类具有常数输入率和标准发生率的SIQS模型,此类模型在SIS模型的基础上考虑了对染病者进行隔离的情况.讨论了一类反应扩散系统在齐次Neumann边界条件下正解的渐近行为.运用线性化理论和上下解方法及其对应的单调迭代方法给出了常数解局部渐近稳定和全局渐近稳定的充分条件.结果表明,当接触率很小时,无病平衡点是全局渐近稳定的.