题目：两类生态模型的Hopf分支及一类反馈控制模型的全局吸引性

生物数学是应用数学的重要分支,它用数学方法研究和解决生物学问题,并对与生物学有关的数学方法进行理论研究.本文讨论了两类生态模型的Hopf分支问题及一类多时滞反馈控制模型的全局吸引性,其中包括模型正平衡态的存在唯一性、Hopf分支的存在与唯一性、正平衡态在分支处的稳定性及正平衡态的全局吸引性等问题.
??????? 血液是生命之源,合理的血液模型为有效治疗血液疾病提供了理论依据.本文首先讨论了一类具有混合时滞的血液模型无条件稳定的充分条件以及Hopf分支存在的充分条件.利用特征值理论得到模型正平衡态无条件稳定的充分条件,讨论了模型Hopf分支的存在与唯一性及其平衡态在分支处的稳定性,通过数值分析验证了定理条件和结论的可实现性.
?????? 种群密度是生物种群最基本的数量特征,然而,时滞和外界的干扰对生物种群密度影响很大,在此基础上,本文其次讨论了一类具有时滞和干扰的广义Logistic模型无条件稳定的充分条件及产生Hopf分支的条件.分别在弱核函数与强核函数两种情形下,讨论模型无条件稳定的充分条件及产生Hopf分支的条件,利用Matlab得到了参数取不同值时曲线的拟合图,结合图形分别比较模型在强核函数与弱核函数的情形下解的稳定性之间的差异.
??????? 在生态学中,反馈控制对生物种群密度也有至关重要的影响,本文最后讨论了多时滞反馈控制Logistic模型的全局吸引性.利用函数的连续性得到正平衡态存在唯一的充分条件,根据比较原理证明了系统解的有界性,通过构造Lyapunov泛函得到系统全局吸引性的充分条件,给出实例,说明了定理的可实现性.