题目：关于框架小波的一些研究

??????? 作为一种比较理想的时频分析工具，小波分析是在Fourier 分析的基础上产生和发展起来的. 它有效的弥补了Fourier 分析的不足，被看作是多元调和分析半个世纪以来的工作结晶. 因其具有良好的自适应性以及“数学显微镜”特性，小波分析被广泛地应用于信号与图像处理、智能计算、量子理论、网络信息安全等众多领域. 目前，有关小波分析的理论研究在进一步的深入，其应用范围也在不断扩大.
??????? 小波变换是一种时频局部化的工具，包括连续小波变换和离散小波变换，而小波框架理论就构成了离散小波变换的主体部分.1952 年Duffin 和Schaeffer在研究非调和Fourier 分析时首次提出了Hilbert 空间中框架的概念，之后Daubechies、Meyer 等人将小波变换引入到框架理论中，提出了小波框架的概念. 小波框架是小波基的一种推广和扩展，降低了小波基对正交性的要求，引入了冗余性，使得小波框架的设计具有较大的自由度. 同时冗余性在表示的稳定性、对噪声的鲁棒性方面都优于正交基.由于小波框架兼有小波和框架的优良特性，现在已成为国内外学者共同研究的热点，在图像处理、边缘检测、去噪等方面表现出巨大的应用潜能. 虽然有关小波框架的讨论已涉及到各个方面，其理论研究还有待进一步完善，有良好性质的框架小波还有待于我们的设计.
??????? 本文着重讨论了小波框架的相关性质，研究了对偶小波框架以及Parseval 小波框架的构造，并刻画了具有高阶消失矩的小波框架，得出一些结论，有助于小波框架理论的进一步发展.全文共由四部分构成：
???????? 第1 章：绪论. 简要介绍了小波分析和小波框架理论的发展历程以及最新研究成果.
??????? 第2 章：小波框架及相关性质. 首先给出了框架的定义，讨论了框架和Riesz 基的关系，通过框架算子定义了对偶框架，给出了信号的重构公式，最后讨论了框架多分辨分析的一些性质.
??????? 第3 章：对偶小波框架的构造. 利用框架多分辨分析，讨论了对偶小波框架和Parseval 小波框架的构造，给出了具体的矩阵扩充方法.
???????? 第4 章：具有高阶消失矩的小波框架的刻画. 讨论了框架小波的消失矩特性，利用斜扩张原则构造出具有高阶消失矩的对偶框架小波，给出了构造算法.