题目：关于双向小波的一些研究

??????? 本文是对双向小波做了一些研究. 自从前几年杨守志教授引入双向加细函数和双向小波之后, 人们渐渐开始沿着这条道路进一步去探索、去研究. 与传统意义上的小波相比, 双向小波是其更为一般的情形, 在实际应用中也拥有更强的灵活性. 因而双向小波成为了一个热点研究对象, 在小波分析的研究中备受关注.? ??????? 本文首先对于引入的a尺度正交双向加细函数和双向小波函数, 运用双向多分辨分析, 得到了a尺度正交双向小波分解与重构的Mallat算法, 并给出了这种算法的矩阵表示及该种信号分解后能够完全重构的充要条件. 其次, 从多变量多小波的双向矩阵加细方程出发, 利用酉扩张原则和矩阵值洛朗多项式的多项分解, 给出了紧支撑多变量双向多小波的紧框架的构建方法和一个充分条件. 论文的具体内容分为以下四章:
??????? 第一章, 绪论. 简要介绍了小波分析的产生和发展及双向小波的产生和目前的研究现状.
???????? 第二章,双向小波及多变量双向多小波.首先从a尺度双向加细方程出发, 介绍了a尺度正交双向加细函数的定义, 然后在此基础上给出了双向多分辨分析的定义, 并进一步地给出a尺度正交双向小波的定义. 此外, 还利用双向矩阵加细方程介绍了紧支撑双向加细函数向量的定义, 接着根据多变量函数Fourier变换的定义, 推导了双向矩阵加细方程施行Fourier变换后的形式, 最后还给出了多变量双向多分辨分析的定义及相应的多变量双向多小波.
??????? 第三章, a尺度正交双向小波的Mallat算法. 首先回顾了所给定的a尺度正交双向加细函数与正交双向小波及其双向多分辨分析理论, 然后利用a尺度正交双向加细函数的正交性及它与小波函数之间的正交性, 得到了a尺度正交双向小波分解与重构的Mallat算法, 并给出了其矩阵表示, 最后还分析出了该种信号分解后能够完全重构的充要条件, 很好地推进了双向小波方面的研究.
??????? 第四章, 紧支撑多变量双向多小波的紧框架. 在紧支撑多变量多小波的紧框架的构建基础上, 结合双向矩阵加细方程, 利用酉扩张原则和矩阵值洛朗多项式的多相分解, 给出了紧支撑多变量双向多小波的紧框架的构建算法, 并以定理的形式给出了构建紧支撑多变量双向多小波的紧框架的一个充分条件, 从而丰富和发展了对双向多小波的紧框架方面的研究.