题目：几类生物模型脉冲映射确定的差分方程的全局分析

近年来, 由于脉冲微分方程能够刻画许多实际生物问题,比如给药方式、植物疾病的物理控制、害虫的综合治理等,使得其在药物、医学、农林等领域应用越来越广泛.由于脉冲微分方程刻画的解不连续, 这对理论研究带来了很大困难.但是如果脉冲微分方程中的连续部分可解或存在首次积分,那么对脉冲微分方程的周期解的存在性和稳定性的研究可以转化为脉冲点序列确定的差分方程的平衡态的存在性和稳定性的研究.
????? 本文结合脉冲微分方程在药物动力学、植物疾病和害虫综合治理中的应用模型研究,将研究问题中周期解的存在性和稳定性转化为研究由Lambert W函数确定的差分方程.
????? 对于药物动力系统中具有米氏消除速率的脉冲微分方程可描述如下$$left{egin{array}{l}frac{dC(t)}{dt}=-frac{V_{max}C(t)}{K_m+C(t)},t
eq nT,C(nT^{+})=C(nT)+frac{D}{V},t=nT,C(t_{0}^{+}) riangleq C_0=frac{D}{V},end{array}ight.$$其中~$C(t)$ 表示~$t$ 时刻药物的浓度, $T$ 为剂量注射的时间间隔,$V_{max}$ 表示血药浓度变化的最大速率, $K_m$ 是米氏常数,$D$ 为每次给药剂量, $V$ 为表观分布容积.
???? 结合对植物疾病脉冲控制的重植和移除策略,可以建立如下植物疾病综合控制模型$$left{egin{array}{l} left.egin{array}{l}frac{dS(t)}{dt}=-eta S(t)I(t)-eta_{1} S(t),frac{dI(t)}{dt}=eta S(t)I(t)-eta_{2} I(t),end{array}ight} I(t) left.egin{array}{l}S(t^{+})=pS(t)+ qsigma,I(t^{+})=(1-omega)I(t)+(1-q)sigma,end{array}ight}I(t)=ET,end{array}ight.$$其中~$S(t), I(t)$ 分别表示~$t$ 时刻的健康植物和染病植物的数量,ET 为经济阈值, 具体生物意义参考正文.
???? 如果对害虫采用脉冲式化学控制、生物控制和物理控制,可以建立如下脉冲捕食被捕食模型$$left{egin{array}{l} left.egin{array}{l}frac{dx(t)}{dt}=x(t)(a-by(t)),frac{dy(t)}{dt}=y(t)(cx(t)-d),end{array}ight}x
eq ET,left.egin{array}{l}x(t^{+})=(1-p)x(t),y(t^{+})=qy(t)+ au ,end{array}ight}x=ET,x(0^{+})=x_0^{+},?y(0^{+})=y_0^{+}.end{array}ight.$$其中~$x(t), y(t)$ 分别表示~$t$ 时刻的害虫和天敌的数量, ET 为经济阈值,具体生物意义参考正文.
????? 对上述三个模型进行理论研究的一个共同特点是寻找模型周期解存在和稳定的临界条件,而对这一问题的研究又可以转化为研究如下统一形式差分方程$$X_{n+1}=-Mmbox{Lambert W}[i,-NX_nf(X_n)]+L riangleq g(X_n), quadn=1,2,cdots, i=0,-1.$$平衡态的存在性和稳定性, 其中~$M, N, L$ 为常数.
对于上述问题,尽管已经有工作讨论了上述差分方程平衡态的存在性和稳定性,得到了其存在和稳定的临界条件.但是这些工作只考虑了平衡态的局部稳定性问题,没有对其全局稳定性给出完整的分析.
???? 因此本文将就上述三类模型脉冲点序列确定的差分方程进行系统研究.利用Lambert W 函数、Poincare 映射和差分方程平衡态全局稳定性定理给出它们全局动态行为分析, 并给出保证其局部稳定、全局稳定和不稳定的条件.
???? 本文所得结论也推广了给药管理, 综合疾病管理和综合害虫治理中相应模型的经典结论,这些结果可以用来评价植物疾病管理和害虫治理的有效性,并且有助于设计新型药物,所采用的研究方法可以推广到研究其它固定时刻脉冲微分方程和状态依赖脉冲微分方程.