题目：多小波的理论及其构造算法研究

近年来,小波理论发展非常迅速,在信号处理、图像处理等方面得到了广泛的应用,同时,基于实际应用的要求和数学本身的发展,人们构造出了不同的小波.2尺度小波的研究从Haar工作开始,得到了较广泛的研究,但是2尺度小波的研究虽然趋于完善,却具有几个明显的缺陷,例如,1988年,Daubechies指出:对于2尺度小波,除了Haar小波外,不存在任何正交,对称且具有紧支撑的小波,并且给出了相应的证明.为了克服2尺度小波的这些缺陷,人们将2尺度小波推广到了多小波,并进一步推广到了向量值小波,多小波因此成为小波领域的研究热点,而向量值小波更成为人们研究多小波的新热点.本论文主要针对多尺度小波和多小波基的构造理论进行了研究,并对其基本性质做了相应的分析.具体内容安排如下:
第一章,介绍小波理论的发展历史,本论文的主要目的,主要研究内容以及取得的主要结果.
第二章,通过选取初等旋转矩阵和初等反射矩阵,给出一种由已知紧支撑对称正交多小波构造具有相应性质多小波的方法.利用该方法还可以构造出一类平衡小波.最后给出具体的算例.
第三章,通过将$r$重支撑区间较大的尺度函数转化成$3r$ 重短支撑区间的尺度函数,给出一种由3尺度紧支撑双正交多尺度函数构造相应紧支撑双正交多小波的方法,整个过程仅需要对矩阵进行正交扩充和求解方程组.最后以3尺度小波为例,对双正交多小波包进行探讨,得出相应的结论.
第四章,探讨应用矩阵奇异值分解, 对正交滤波器参数化的方法, 得出4尺度正交滤波器的参数化形式, 并能构造出相应的小波. 利用该方法得到的小波滤波器是因果仿酉的, 并且具有对称性. 最后给出相应的算例.
第五章,介绍双向多分辨分析以及双向小波的概念.对正交双向小波的相关性质进行研究,也研究正交双向小波对称性的相关问题,最后基于双向加细函数的紧支撑性,给出一种构造正交对称双向小波的方法.
第六章,总结本文并对多小波前景进行展望,指出与本文有关的进一步需要研究的问题.
本论文的主要创新之处如下:
1.利用矩阵正交扩充和求解方程组的方法,给出一种由3尺度紧支撑双正交多尺度函数构造相应紧支撑双正交多小波的算法.这将Douglas P. Hardin, Jeffrey A. Marasovich 等人的研究成果从单纯的2尺度小波推广到了向量值多尺度小波.
2.通过以3尺度小波为例,得到双正交多小波包的双正交性质,并给出相应的分解关系.应用矩阵奇异值分解的方法, 通过对4尺度正交滤波器组的参数化,得出了一种4尺度正交滤波器的构造方法, 利用该方法得到的小波具有对称性.
3.提出了正交对称双向小波的概念,给出了正交双向小波对称性的判别条件,并基于双向加细函数的紧支撑性,利用双向多分辨分析以及矩阵理论,给出了一种构造正交对称双向小波的算法.