题目：计量逻辑学与粗糙逻辑的计量化研究

经典命题逻辑在帮助人们认识世界、改造世界已取得了举世瞩目的成就.它处理的信息是完全精确的, 不存在任何的模棱两可.然而这种绝对精确的推理往往会得出许多荒唐可笑的结论, 如秃头悖论等.19世纪后半叶形成和发展起来的模糊逻辑正是为了避免类似这样的谬论而提出来的.在模糊逻辑中, 真值域已由经典情形的{0,1}扩展到[0,1]狭义地讲, 模糊逻辑就是赋值域为[0,1]的逻辑. 然而, 在模糊逻辑中,诸如定理、重言式、可驳式、矛盾式、可证等价等概念仍然是分明的,非此即彼的, 鉴于此, 如何将程度化思想引入到数理逻辑之中,并建立一套近似推理机制是一亟待解决的问题.我们在近几年的工作中对此进行了探讨,如今已形成较为完善和成熟的计量逻辑理论.
在计量逻辑学中, 由于在全体逻辑公式上引入了伪距离,我们因此得到相应的逻辑度量空间. 此时对于一逻辑理论而言,它既有相容性、发散性、逻辑闭性等逻辑性质,也有有无内点、是否稠密、是否拓扑闭集等拓扑性质.如何将这两种完全不同的性质统一起来自然是一值得深入研究的问题,这对于建立不同学科之间的联系也具有重要意义.我们在之前的工作中对该问题进行过较为深入的探讨.所得结论在二值命题逻辑的框架下从拓扑学的观点刻画了逻辑理论的发散性与相容性.例如我们证明了一个理论是相容的当且仅当其逻辑闭包在逻辑度量空间中不含内点,一个理论是全发散的当且仅当其逻辑闭包在逻辑度量空间中稠密,以及任一有限或有根理论的逻辑闭包都是拓扑意义下的闭集等等.如何将以上结果推广至多值乃至连续值逻辑系统之中是一个相当复杂的问题.因为在这些逻辑系统之中, 由公式所诱导的函数不再是简单的Boole函数.本文先在三值命题逻辑系统L*3中对该问题进行了探讨,此后利用更为复杂的McNaughton函数将其推广至n值Lukasiewicz逻辑系统Luk(n)中.
粗糙集理论是一种处理不精确、不确定信息的数学理论.目前已成功应用于数据挖掘、知识发现、模式识别以及机器学习等领域.在粗糙集的理论研究当中, 常用的两种方法是构造性方法和公理化方法.在已有的公理化研究工作中,粗糙集往往是以单位区间[0,1]作为其论域中元素隶属度的取值域.本文第一次将公理化方法推广至基于剩余格的L-模糊粗糙集模型中,并基于此, 建立起了L-模糊粗糙集与L-模糊拓扑之间的联系.本文还第一次借助Galois联络给出了粗糙集的公理化刻画,所得结论进一步密切了粗糙集与Galois联络以及概念格之间的联系. 此外,本文还将形式化方法引入到Galois联络的研究之中,提出了一基于Galois联络的逻辑LGC, 证明了相应的可靠性定理与完备性定理.
粗糙逻辑是粗糙集理论中一重要分支.已有许多学者从不同角度构建了粗糙逻辑系统. 然而在粗糙逻辑系统中,诸如定理、有效公式、可驳式、矛盾式等都是分明的, 非此即彼的,这就使得在粗糙逻辑中引入带有粗糙近似思想的近似推理机制尤为困难.在本文中, 我们首次将计量化方法引入到三种不同的粗糙逻辑系统L1,L2以及Lr中.通过将粗糙(上、下)为真概念程度化, 引入了粗糙(上、下)真度概念,通过将粗糙(上、下)相等程度化, 引入了粗糙(上、下)相似度概念, 最后在全体逻辑公式中导出了三种不同的伪距离(本文称之为粗糙(上、下)伪距离),从而建立起了能反映粗糙近似思想的近似推理机制.
全文共分5章.
第一章介绍了有关计量逻辑学与粗糙集理论的基本知识,这些知识是阅读后续内容所必须的, 是概述性的.
第二章在三值命题逻辑系统L*3中用拓扑学的方法刻画了逻辑理论的相容性、发散性以及逻辑闭性等逻辑性态.证明了一个理论是相容的当且仅当仅当其逻辑闭包在三值逻辑度量空间中不含内点;一个理论是全发散的当且仅当其逻辑闭包在三值逻辑度量空间中是稠密的;任一有根或者有限理论的逻辑闭包是拓扑意义下的闭集等.
第三章借助于比Boole函数远为复杂的McNaughton函数对Luk(n)中逻辑理论的相容性进行了研究.证明了一个闭逻辑理论是相容的当且仅当它在$n$值逻辑度量空间中不含有内点,一个理论是相容的当且仅当其逻辑闭包在$n$值逻辑度量空间中不含有内点.本章还借助于真度概念对理论的相容性进行了研究,证明了一个闭逻辑理论是相容的当且仅当它具有``真度遗漏'性质,一个逻辑理论是相容的当且仅当其逻辑闭包具有``真度遗漏'性质. 此外,本章还证明了一个理论是相容的当且仅当其逻辑闭包不含有非空正则球面.
第四章主要研究了粗糙集的公理化刻画.本章首次将公理化方法推广至基于剩余格的L-模糊粗糙集之中. 基于此,建立起L-模糊粗糙集与L-模糊拓扑之间的联系.本章还首次借助于Galois联络对粗糙集进行了公理化研究,所得结论进一步密切了粗糙集与Galois联络以及概念格之间的联系. 此外,本章将形式化方法引入到Galois联络的研究之中,构建了一基于Galois联络的逻辑LGC,并证明了它关于全体Kripke结构是可靠的、 完备的.该结果对粗糙集的形式化研究具有一定的启示作用.
第五章将计量化方法引入到粗糙逻辑的研究之中.本章的工作主要是围绕三种典型的粗糙逻辑系统L1、L2以及Lr展开的.在预粗糙逻辑系统L1中,本章借助于三值Lukasiewicz命题逻辑中的计量化理论对其进行计量化研究.通过将粗糙(上、下)为真、粗糙(上、下)相等程度化,分别引入了公式的粗糙(上、下)真度、 公式间的粗糙(上、下)相似度等概念.并基于此在全体逻辑公式中导出了三种伪距离(本章称之为粗糙(上、下)伪距离),研究了相应粗糙逻辑度量空间中逻辑连接词的连续性问题,提出了三种能反映粗糙近似思想的近似推理机制.对于粗糙逻辑系统L2,由于它关于全体Kripke结构是可靠的, 完备的,本章采用与前面所不同的方法对其进行计量化研究.本章先给出基于一特定Kripke模型下的计量逻辑理论, 在此基础之上,利用均匀概率思想, 定义了更为合理的(n)-粗糙(上、下)真度,(n)-粗糙(上、下)相似度等概念, 最后在全体公式集上导出(n)-粗糙伪距离,并研究了相应粗糙逻辑度量空间中逻辑连接词的连续性问题,提出了三种不同的近似推理方法. Lr是由印度学者Benerjee新近提出的一种粗糙逻辑系统,本章借助已有的模态逻辑S5中的计量化方法对其进行了研究.本章的结果实现了计量逻辑学与粗糙集理论之间的融合,对进一步丰富基于粗糙集的近似推理有一定启示.