题目：算子理论在量子信息和非交换计算中的若干应用

算子矩阵, 算子数值域, 算子谱理论以及交换子都是近年来算子理论中比较活跃的研究课题,对它们的研究涉及到诸如代数学、矩阵理论、非交换几何理论、非交换计算以及量子计算等多个学科分支. 本文主要研究算子理论在量子信息和非交换计算中的若干应用. 研究方法上着重使用了算子分块技巧和算子谱理论. 研究内容涉及到上三角算子矩阵的值域, 算子数值域, 广义量子门与自伴算子下确界的谱表示, 正压缩交换子的极大范数,斜投影五个方面. 全文共分五章: 第一章运用算子分块技巧, 对上三角算子矩阵$M_C=left(egin{array}{cc}A&C&Bend{array}ight)$,分别就对角线上算子$A, B$的值域$mathcal{R}(A)$和$mathcal{R}(B)$都闭、都不闭、一个闭一个不闭这四种情况, 研究了值域$mathcal{R}(M_C)$的闭性. 并结合所得结论, 给出了上三角算子矩阵是Kato-非奇异的充分必要条件. 
第二章将S. Gudder和G. Nagy$^{[24]}$在研究序贯量子测量理论中所依赖的涉及到自伴算子数值域的一个基本定理, 在去掉其自伴性的限制后, 推广到了一般有界线性算子中; 完全回答了P. J. Psarrakos和M. J. Tsatsomeros$^{[33]}$提出的, 关于矩阵的极小模和内数值域半径的一个公开问题, 并证明了相应结论对无限维Hilbert空间上的有界线性算子也成立;借助于算子分块技巧, 研究了算子数值域的角点与算子点谱、约化近似点谱之间的关系.
第三章对龙桂鲁$^{[47]}$在研究对偶量子计算机原理中提出的广义量子门, 及S. Gudder$^{[60]}$在研究量子测量中引入的逻辑序下的自伴算子中的若干问题进行了研究, 运用线性算子的谱理论和算子分块的方法,给出了广义量子门的谱刻画及逻辑序下两个自伴算子的下确界的谱表示.
第四章运用线性算子的谱理论, 研究了由蔡文端$^{[83]}$提出的非交换计算中两个正压缩算子的交换子的有关问题, 得到了正压缩交换子的极大范数可达的充要条件.
第五章从斜投影算子的几何结构入手, 给出了补子空间上斜投影的算子矩阵表示. 在无限维Hilbert空间上, 得到了斜投影$U(VU)^dagger V$的值域和零空间的若干刻画, 给出了一般斜投影的表示. 本文所取得的主要研究成果分为以下7个方面：
(1) 利用算子分块的方法, 给出了几种不同情形下上三角算子矩阵值域是闭的以及     上三角算子矩阵是Kato-非奇异的充分必要条件. 
(2) 证明了对Hilbert空间$mathcal{H}$上的有界线性算子$A,B,C$, 若等式$(Ax,x)(Bx,x)=(Cx,x)$对    $mathcal{H}$中任意的单位向量$x$都成立, 则$A$和$B$中至少有一个是恒等算子的数乘, 即存在    复数$c$使得$A=cI$或$B=cI.$
(3) 证明了对Hilbert空间$mathcal{H}$上的有界线性算子$A$, 若$0
otin W(A)$,    则$delta(A)geq widetilde{w}(A)$.
(4) 利用线性算子的谱理论, 给出了压缩算子是广义量子门的充要条件.
(5) 得到了逻辑序下两个自伴算子的下确界的谱表示公式.
(6) 获得了两个正压缩算子的交换子的极大范数可达的充分必要条件.  
(7) 给出了斜投影$U(VU)^dagger V$的值域, 零空间的若干刻画, 得到了一般斜投影的表示.