题目：Quantale及其四种相关结构的研究

Quantale的概念是在1986年由数学家C.J.Mulvey提出的,其背景是给研究非交换C*-代数提供新的格式刻划,并给量子力学提供新的数学模型. 由于Quantale是量子逻辑和Locale结构的推广,所C.J.Mulvey``Quantum"和``Locale"复合起来拼``Quantale".D.Yetter 在1990年找到了Girard 提出的作为理论计算机科学逻辑支持系统的线性逻辑与Quantale理论之间的密切关系.因为Quantale理论为研究非可换结构提供了一种有力的手段,所以使得它有着广泛的应用空间. 特别是在非交换的C*-代数、环的理想及线性逻辑等理论中的应用,使得Quantale理论成为近年来数学家和理论计算机学家及逻辑学家的研究热点.在过去短短的二十多年中,有关Quantale的大量新的观点及应用相继被揭示.本文一方面在这些成果的基础上运用Frame理论的研究思想和范畴论的方法对Quantale理论的一些代数性质和拓扑特征以及范畴性质作了进一步的研究,从而丰富了Quantale理论的研究内容.另一方面,研究了Quantale几种相关结构的内部特征和范畴性质,在一定程度上推广了Quantale理论的内容,给Quantale理论的研究发展提供了新的生长点.本文的主要内容安排如下:?第一章 预备知识. 本章给出了与本文相关的格论、Quantale理论和范畴理论方面的一些概念和结论.
第二章 Quantale中的直径与Hausdorff分离性. 首先在Quantale中引入点的概念,讨论了Quantale中点的一些的性质,利用Quantale中点给出了T-空间式Quantale的一些等价刻画. 其次, 在Quantale中引入了直径的概念,将Frame中关于直径的一些重要的结论推广到Quantale中,研究了由Quantale直径所确定的拓扑的一些性质,从而丰富了Quantale理论拓扑性质方面的内容.再次, 在Quantale中给出了两种收敛的定义,引入了聚点、极限点、强极限点、n-完备等概念,讨论了它们的一些性质,得到了一些有趣的结论.最后,在讨论了Quantale中两种收敛的基础上,给出了Quantale中的T2，T2*,?? T2** 等概念,讨论了它们之间的相互关系,找到了它们的一些等价刻画.
第三章? Quantale范畴的若干性质.首先在Quantale中引入了饱和元的概念,得到了单位Quantale余积的具体结构.其次,给出了Quantale双同态的定义,引入了Quantale张量积的概念,得到了Quantale张量积的具体形式,讨论了Quantale张量积的一些重要性质.最后,在Quantale中引入了弱空间式Quantale、完全正则Quantale、零维Quantale等概念,讨论了Quantale若干子范畴的性质,将Frame中一些经典的结论推广到Quantale中,并构造出了这些Quantale子范畴的余反射子范畴.
第四章 双Quantale模范畴.?? 首先在双Quantale模中引入了双Q-模双同态的概念,给出了双Quantale模张量积的具体形式,讨论了双Quantale模张量积的一些性质.其次,在双Quantale模范畴极限结构的基础上,得到了双Quantale模范畴定向极限的具体结构.最后,给出了双Quantale模的一些有趣的例子,得到了单位双Quantale模范畴中自由对象的具体形式,证明了单位双Quantale模范畴是代数范畴.
第五章 Q-fuzzy序与E-Quantale. 本章首先引入了Q-fuzzy序的概念,研究了Q-fuzzy序与Q-fuzzy覆盖之间的关系,证明了任意非空集合上的所有Q-fuzzy关系的全体构成Quantale,在Q-fuzzy关系基础上,给出了Q-fuzzy等价关系的定义,证明了当赋值域为Frame时,任意非空集上的Q-fuzzy等价关系的截集恰为其上的等价关系.其次, 引入了E-Quantale的概念, 在Quantale范畴和E-Quantale范畴之间建立了一个满的嵌入的函子,并讨论了E-Quantale中理想与覆盖的一些性质.最后, 在E-Quantale中引入了可容集、广义Booler代数等概念,并给出了它们的一些具体刻画.
第六章? L-fuzzy quantale. 本章首先给出了L-fuzzy quantale的定义,将L-fuzzy子frame的一些重要结论推广到L-fuzzy quantale中,并给出了L-fuzzy quantale的一些等价刻画. 其次,引入了L-fuzzy理想和素理想的概念,讨论了它们的一些性质,得到了若干重要结论.最后,系统的讨论了L-fuzzy quantale范畴的性质,给出了L-fuzzy quantale范畴中乘积、等子、余等子、交以及拉回的具体结构,证明了L-fuzzy quantale范畴是完备的.