题目：因子von Neumann 代数上的保持问题与可导映射

算子代数理论产生于20世纪30年代,随着这一理论的迅速发展,现在这一理论已成为现代数学中一个令人关注的分支.它与量子力学,非交换几何,线性系统，控制理论,数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和互相渗透.为了进一步探讨算子代数的结构,近年来,国内外诸多学者对算子代数上的映射进行了深入的研究,如保交换映射,强保交换映射,导子,Lie导子等.发现了许多新颖的证明方法,并不断提出新思路,如可交换映射,函数恒等式等概念的引入,目前这些映射已成为研究算子代数不可或缺的工具.本文的研究内容涉及因子von Neumann 代数上的Lie映射,$mathcal{B(H)}$上的正规可导和正交可导映射,因子von Neumann 代数上的保持映射和Jordan可导映射三个方面的内容.本文在研究方法上着重使用了算子分块技巧,?根据所研究的内容对给定的算子进行适当的分块.通过对它们的研究使得算子之间的内在关系变得更加清晰,由此揭示所涉及到的算子代数上映射的更多信息.全文分四章:
第一章绪论首先介绍了本文选题的意义和背景以及后几章经常用到的导子,有界线性算子和算子代数的一些概念及结论.
第二章使用算子分块技巧,对因子von Neumann 代数上保Lie积的非线性映射,因子von Neumann代数上的非线性Lie导子,因子von Neumann 代数上Lie-$*$导子,广义$*$-Lie可导映射进行了刻画.
在第二章的基础上,第三章首先刻画了$mathcal{B(H)}$上的正规可导映射,其次给出了$mathcal{B(H)}$上的酉可导映射的结构,最后讨论了$mathcal{B(H)}$上的正交可导映射和Jordan正交可导映射.
第四章讨论了因子von Neumann 代数上的非线性强保$*-$交换映射,保 Schur 积的可加映射,分析了因子von Neumann 代数上Jordan $-*$可导映射和零点Jordan可导映射.
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本文所取得的研究成果分为以下十个方面:
(1) 令$mathcal{H}$是一个维数大于2的复可分Hilbert空间,$mathcal{M,N}$是作用在$mathcal{H}$上的两个因子vonNeumann 代数,若$phi:mathcal{MlongrightarrowN}$是一个双射,满足对所有的$A,Binmathcal{M},$有$phi([A,B])=[phi(A),phi(B)],$则存在一个映射$xi:mathcal{M}longrightarrow mathbb{C}I,$对所有的$A,Binmathcal{M},$有$xi(AB-BA)=0,$则下面之一成立:
$($i$)$存在一个可加的同构$psi:mathcal{MlongrightarrowN},$使得对所有的$Ainmathcal{M},$有$phi(A)= psi(A)+xi(A).$
$($ii$)$存在一个可加的反同构$psi:mathcal{MlongrightarrowN},$使得对所有的$Ainmathcal{M},$有$phi(A)=-psi(A)+xi(A).$
(2) 设$mathcal{M}$是作用在维数大于$2$的复可分 Hilbert空间$mathcal{H}$上的因子von Neumann代数.证明了因子von Neumann代数$mathcal M$上的每一个非线性Lie 导子具有形式$Aightarrowvarphi(A)+h(A)I,$ 其中$varphi:mathcalMightarrowmathcal M$是一个可加的导子,$h:{mathcalMightarrowmathbb{C}}$是一个非线性映射且对所有的$A,Binmathcal M$有$h(AB-BA)=0.$
(3) 设$mathcal{H}$是维数大于$2$的复可分Hilbert空间,$mathcal{M}$是作用在 $mathcal{H}$上的因子vonNeumann代数.若$phi:mathcal{Mlongrightarrow M}$是线性Lie-$*$导子,则存在数$lambdainmathbb{R}$和算子$Tinmathcal{M}$且$T+T^{*}=lambda I,$以及线性映射$h:{mathcalMightarrowmathbb{C}}I,$?且对所有的$A,Binmathcal M$有$h(AB^{*}-B^{*}A)=0,$ 使得对任意$Ainmathcal{M},$有$phi(A)=AT-TA+h(A).$
(4) 若$phi:{mathcal{B(H)}}longrightarrow {mathcal{B(H)}}$上的正规可导线性映射,则存在数$lambdainmathbb{C},etainmathbb{R},$线性映射 $h: {mathcal{B(H)}}ightarrow {mathbb{C}}I,$以及算子$Tinmathcal{B(H)}$且$T+T^{*}=eta I,$使得对所有的$Ain{mathcal{B(H)}}$,有$phi(A)= AT-TA+lambda A+f(A)I .$
(5) 设$mathcal{H}$是维数大于$2$的复Hilbert空间,? $mathcal{B(H)}$表示$mathcal{H}$上所有有界线性算子构成的代数.若$phi:{mathcal{B(H)}}longrightarrow{mathcal{B(H)}}$上的有界线性映射,如果对所有的$Ainmathcal{B(H)}$且$A^{ast}A=AA^{ast}=I,$有$phi(A)^{ast}A+A^{ast}phi(A)=phi(A)A^{ast}+Aphi(A)^{ast}=phi(I),$则存在数$lambdainmathbb{R}$和算子$Sin{mathcal{B(H)}}$,且$S+S^{*}=lambda I,$ 使得对所有的$Ain{mathcal{B(H)}}$,有$phi(A)=AS-SA.$
(6) 设$phi$是$mathcal{B(H)}$上的一个正交可导线性映射,则存在数$lambda_{1},lambda_{2}inmathbb{R}$和算子$T,Sin{mathcal{B(H)}}$,且$T+T^{*}=lambda_{1}I,S+S^{*}=lambda_{2}I,$使得对所有的$Ain{mathcal{B(H)}}$, 有$phi(A)=AT-SA.$换句话说,$mathcal{B(H)}$上的正交可导线性映射是广义内导子.
(7) 若$phi:{mathcal{B(H)}}longrightarrow {mathcal{B(H)}}$上有界的Jordan正交可导线性映射,则存在数$muin{mathbb{R}},lambdain{mathbb{C}}$和算子$Min{mathcal{B(H)}}$,且$M+M^{*}=mu I,$使得对所有的$Ain{mathcal{B(H)}}$, 有$phi(A)=AM-MA+lambda A.$
(8) 设$mathcal{M}$是作用在维数大于$2$的复可分Hilbert空间上的因子vonNeumann代数,并且$phi:mathcal{Mlongrightarrow M}$是一个满射.则对任意$A,Binmathcal{M},$有$[phi(A),phi(B)^{*}]=[A,B^{*}]$当且仅当存在常数$lambdainmathbb{C}$且$lambdaoverline{lambda}=1$和函数$h:{mathcal{M}}longrightarrow{mathbb{C}},$使得对任意$Ainmathcal{M},$ 有$phi(A)=lambda A+h(A)I.$
(9) 首先得到了矩阵上代数保Schur积的线性满射是一个置换算子.运用相似的方法,分别对矩阵代数上保Schur积的可加双射、双边保Schur正交性的线性映射、保Fan积的线性满射进行了研究,得到类似的结果.并且根据Schur积的一系列性质推出了Fan积也具有相似的性质.
(10) 若$phi:{mathcal{S}}^{a}(mathcal{H})longrightarrow{mathcal{S}}^{a}(mathcal{H})$上零点Jordan可导的线性映射,则存在数$lambdain{mathbb{R}}$和算子$Sin{mathcal{B(H)}}$,?使得对所有的$Ain{mathcal{S}}^{a}(mathcal{H})$,有$phi(A)=SA+AS^{*}-lambda A.$?令$mathcal{M}$ 和$mathcal{N}$ 是两个vonNeumann代数. $phi$是从$mathcal{M}$ 到$mathcal{N}$? 的范数连续的?平方零点可导线性映射.则$phi$是一个内导子.