题目：带常收获率的捕食-食饵模型的定性分析

自然界的日益复杂,使得种群越来越多遭受外界的侵袭,比如,自然环境,气候条件等等的改变给生物种群带来的影响,尤为重要的是,我们知道,现如今自然界中生物种群遭受的外界侵袭更多的来自人类.随着科技的发展,人类的活动对自然界的影响日益加大,比如对生物种群的捕杀,人工培育及人为迁移等都对种群的密度,结构及空间分布都产生了重要的影响,为了人类的长远发展以及对生物资源的可持续利用,我们有必要在种群动力学中考虑人类的因素,以期获得科学利用管理生物资源的有效方法.鉴于此,本文研究反应扩散系统下食饵种群带外界常收获率的比率依赖型的捕食$-$食饵模型$$left{egin{array}{ll}frac{partial u}{partial t}-d_1Delta u=u(1-u)-frac{auv}{u+v}-h, &xinOmega,t>0,frac{partial v}{partial t}-d_2Delta v=v(-c+frac{bu}{u+v}), &xinOmega,t>0,u(x,0)=u_{0}(x)geq0,v(x,0)=v_{0}(x)geq0, &xinar{Omega},end{array}ight. $$其中$u,v$分别代表食饵和捕食者的密度;$d_{1},d_{2},a,b,c$为正常数;$d_{1},d_{2}$为扩散系数;$c,a$表示捕食者的死亡率和对食饵种群的捕获率;$b$表示食饵种群的转换率;常数$h$表示外界对食饵的收获率.本文分两章对此模型的动力学行为进行了讨论.
第一章中,讨论了齐次 Neumann 边界条件$$partial_{
u}u=0, partial_{
u}v=0 , xin partialOmega ,$$下该模型的共存态.首先讨论了解的耗散性,得出正常数解的图灵不稳定及一致渐近稳定时参数满足的条件.在讨论的过程中,可以发现常收获率对解的一致持久性的影响,同时得出当$0在第二章,讨论了 Dirichlet 边界条件$$u=u_{0}, v=v_{0}, xin partialOmega,$$下分歧解的性质.取$Omega=(0,l)$,以$d_{2}$为分歧参数,分别讨论了正常数解$(u_{0},v_{0})$处的局部分歧,全局分歧,及分歧解的稳定性.