题目：Banach空间中的广义和及可逆算子对

对于Banach空间中的$X$的一族元素${x_i }_{iin I} $, 称记号$sum
olimits_{iin I} {x_i } $为$X$的一个广义和, 其中$I$为指标集.通过$sum
olimits_{iin I} {x_i } $的部分和（有限和）构成的网${S_A}_{Ain F(I)} $, 给出了广义和收敛性的定义,并且得出了广义和收敛的几个充分必要条件.接着，研究了收敛广义和的一系列运算性质以及分部求和性质.最后，研究了广义和$sum
olimits_{iin I} {x_i }$的无条件收敛性、弱无条件收敛性和双向无穷级数的各种收敛性及其关系.
本文共分三章, 各章主要内容如下：
第一章引入了Banach空间$X$中广义和的概念,将数项级数中的部分和延拓为$X$中的一个网${S_A }_{Ain F(I)} $,得到了广义和收敛性的定义, 证明了Cauchy收敛准则, 同时，又给出了Cauchy收敛准则的等价形式.通过将指标集改为原来指标集的子集得到的级数称为原来广义和的部分和,并且研究了其相关性质.
第二章讨论了收敛的广义和的几种运算性质以及分部求和的性质.推广了以往的Fubini定理, 得到了广义和理论中的累次求和定理.
第三章给出了广义和$sum
olimits_{iin I}{x_i }$无条件收敛、弱无条件收敛和双向无穷级数的概念, 讨论了它们的相关性质.研究了数域中的广义和, 得出了广义和$sum
olimits_{iin {m {f N}}} {x_i }$收敛、无条件收敛与级数无条件收敛、绝对收敛都是等价的. 特别地,当$X$为Hilbert空间时, 得到了一些好的性质.
第四章研究了由算子$Ain B(H)$与$Bin B(K,H)$构成的算子对$(A,B)$,给出了右可逆算子对$(A,B)$的等价刻画及其应用.