题目：线性方程组的预条件迭代法和误差估计

本文主要讨论了在几类不同的预条件下,几种常见迭代法的收敛性及AOR迭代法的一个误差估计. 熟知,科学技术与工程物理等领域出现了越来越多的数学问题,而这些问题常常归结为求解线性方程组的数值解. 对于这种方程组一般有两种解法,一类是直接法,另一类是迭代法.随着电子计算机技术的发展,迭代法显示出了很强的优势.例如,它的程序设计简单,而且在计算前后保持线性方程组的系数矩阵$A$不变. 收敛性是迭代法求解线性方程组的核心问题,如何加快迭代法的收敛速度是目前研究很有意义的一个课题. 许多学者通过应用不同的预条件来加快迭代法的收敛速度,甚至对一些不收敛的迭代法通过预条件后也可使得其收敛. 本文主要讨论了当线性方程组的系数矩阵$A$是$L$矩阵或$H$矩阵时,预条件迭代法的收敛性问题. 本文的线性方程组都具有形式$Ax=b$,其中系数矩阵$Ain R^{n imes n}$, $x,bin R^{n}$,$x$为未知量, $b$为已知量.本文的内容由前言,第一章和第二章构成. 前言主要介绍了几类经典的预条件矩阵及本文的写作基础. 第一章是本文的重点. 作者在Evans等$^{[1]}$提出的预条件矩阵$P_{s1}$和$P_{s2}$的基础上,讨论了在预条件矩阵$P_{1}$下, 线性方程组的系数矩阵$A$是$L$矩阵时的预条件迭代法,得到了预条件$P_{1}$的Gauss-Seidel迭代法的收敛性最好.不仅如此,作者还在 T.Kohno等$^{[2]}$于1997年提出的预条件矩阵$P_{1}(alpha)$和A. Hadjidimos等$^{[3]}$于2003年提出的预条件矩阵$P_{2}(alpha)$的基础上, 通过改变参数的取值范围及对角线外非零元素的位置,构造了一种新的预条件矩阵$P_{2}$, 得到了线性方程组的系数矩阵$A$是$H$矩阵时,预条件$P_{2}$的AOR迭代法,SOR迭代法及Gauss-Seidel迭代法是收敛的, 并用数值例子说明了预条件$P_{2}$的有效性. 第二章,作者在文献$[4]$给出的$M^{-1}N$一个新的行和估计式的基础上($M$为严格双对角占优矩阵,$N$为$n imes m$矩阵), 得到了AOR迭代法的一个误差估计,并给出了当$omega=gamma=1$时, Gauss-Seidel迭代法的更简捷精确的误差估计,用数值例子进行了说明.