题目：两类反应扩散模型的定性分析及数值模拟

反应扩散方程作为描述现实世界物质运动的一种重要的数学形式，由于其具有很高的实际应用价值，愈来愈受到数学家和其他自然学科、交叉学科研究人员的重视．人们不断的实际需求和求知欲促使科学家们提出了形形色色、不断完善的反应扩散模型．同时，这些模型也不断地在被人们所分析和研究来回馈和描述现实世界．
本文主要讨论了两类反应扩散模型解的性质．一类是齐次Neumann边界条件下具有一般反应函数的化学反应模型. 一类是非齐次Dirichlet边界条件下一般的Gause型捕食食饵模型.

针对第一类模型，本文着重研究了相互反应率r对模型解的影响．首先，灵活运用积分知识研究了平衡解的基本性质及其不存在性条件：当反应区域太小或者物质u扩散太快时，两种物质的浓度将不存在分布不均匀的形态．其次，均以相互反应率r为参数，在平衡态系统中，利用分歧理论和空间分解技巧，通过证明单重与双重特征值分歧的发生，得到了非常数正平衡解存在的依赖条件：当相互反应率r适当大时，平衡态系统将产生空间非均匀的解形态；在动力系统中，利用Hopf分歧理论和中心流形定理，分别研究了ODE、PDE系统周期解的存在性、方向及其稳定性：当相互反应率r在常数r0附近时，系统将产生空间齐次的周期解．最后，借助Matlab软件，形象地验证和刻画了本文定理的结论，同时也生动地看到了在相互反应率的影响下以上两种分歧产生的更为复杂的解形态．
针对第二类模型，本文主要讨论了其平衡解的性质．首先，利用线性稳定性理论及构造Lyapunov函数的方法研究了模型正常数解的局部稳定性和全局稳定性．其次，在给出平衡解先验估计的基础上，利用Cauchy不等式及Poincaré不等式讨论了非常数非负平衡解的不存在性条件：当两物种u，v的扩散系数d1,d2都比较大时，平衡态系统不产生空间非均匀的解形态．最后，以捕食者的扩散系数d2为分歧参数，利用度理论和分歧理论，得到了此平衡态系统正解的存在性：在参数满足一定的条件下，由分歧点分歧出的正解分支将延伸到无穷．