题目：奇数分康托集平移变换后的自相似性

设压缩函数族~${f_{i}(x)=r_{i}x+b_{i}}^{N}_{i=1}$, 其中~$foralli$, 有~$0$$T=igcuplimits ^{N}_{i=1}f_{i}(T).$$称~$T$ 为自相似集, ${f_{i}}^{N}_{i=1}$ 为自相似集~$T$ 的迭代函数系.分形是一种特殊的集合, 自相似集又是一种特殊的分形,把由一个集合的局部进行适当放大, 可得集合本身的性质, 称为自相似性.
本文主要考虑迭代函数系~${f_{j}(x)=frac{x+2j}{p}}^{frac{p-1}{2}}_{j=0}$,?$p$ 是奇数, 且~$pgeq 3$, 则存在自相似集~$E_{p}$, 满足$$E_{p}=igcuplimits ^{frac{p-1}{2}}_{j=0}f_{j}(E_{p}).$$受相关文献的启示, 讨论自相似集~$E_{p}$ 与其平移的并集的自相似性.李艳晓研究了五分康托集与其平移的并集的自相似性,而本文从一般形式入手, 研究奇数分康托集与其平移的并集的自相似性.证明过程由特殊到一般, 改进了李的工作, 且优化了其结果. 本文共分三章,各章主要内容如下:
第一章介绍了后面章节用到的一些预备知识, 包括压缩映射, 迭代函数系,开集条件, Hausdorff 测度 和~Hausdorff 维数的定义.最后简要说明了本文的一些主要工作.
第二章研究了奇数分康托集~$E_{p}$ 的~Hausdorff 测度. 在~Hausdorff测度和~Hausdorff 维数定义的基础上, 用不同于李浩等人的方法,给出了这类康托集的~Hausdorff 测度的上界估计和下界估计,从而得出了它们的~Hausdorff 测度.
第三章主要研究了奇数分康托集与其平移的并集的自相似性.介绍了与奇数进制有关的引理, 着重研究了生成~$E_{eta p}$ 的迭代函数系所满足的条件. 在相关引理和命题的基础上, 得到了奇数分康托集~$E_{p}$与其平移的并集的自相似性的一个主要定理, 即自相似集~$E_{p}$与它的平移~$E_{p}+eta$的并集是自相似集的充要条件是: 存在自然数~$n$, 使得~$eta=2 imesp^{n}$.