题目：两类生物模型解的性质分析

偏微分方程作为数学的一个分支出现于18世纪, 它是以建立数学模型, 进行理论分析和解释客观现象并进而解决实际问题为内容的一门数学分支学科. 经过两个世纪的研究和探索, 人们在偏微分方程的理论和应用两方面都取得了许多重要的成果.
反应扩散方程作为偏微分方程的一个重要的分支, 在近年来也受到了学者们的广泛关注. 如今反应扩散方程在数学学科中占据着极其重要的领域, 也是数学与其它科学学科联系的重要桥梁之一, 更是基础数学发展的基本源泉之一. 目前, 利用反应扩散方程研究生物种群动力学, 已经成为非线性反应扩散方程研究领域的一个重要的研究方向, 并且已经取得了许多重要的具有实际意义的结果.
本文主要在前人研究的基础上, 运用非线性分析和非线性偏微分方程的知识, 特别是抛物型方程(组)和对应椭圆型方程(组)的理论和方法, 分别考察了如下两个具体的生物模型：
?(0.1)
?(0.2)
的动力学行为, 包括正平衡解的稳定性、存在性、不存在性、分歧等等. 所涉及的数学理论包括: 上下解方法、比较原理、分歧理论、稳定性理论、拓扑度理论等. 本文主要有两章内容:


第一章研究了系统(0.1)的全局分歧及稳定性. 运用极值原理, 上下解方法确定了系统(0.1)正平衡态解的一些先验估计, 然后利用局部分歧理论, 特征值扰动理论和全局分歧理论得到了(0.1)的局部分歧解存在的充分条件及解的稳定性,并给出了全局分歧解的存在性. 最后利用数值模拟演示了种群密度随时间的变化情况.
第二章研究了系统(0.2)正平衡态解的性质. 首先讨论了正常数平衡解的稳定性, 运用极大值原理确定了系统(0.2)正平衡解的一些先验估计, 然后讨论了非常数正解的不存在性及存在性, 分析了非常数正平衡态的分歧解的情况.同时对该系统做了数值模拟.