题目：具有正的Lebesgue测度的自仿集

??????? 本文主要研究了自仿域, 即~Lebesgue 测度是正数的自仿集的问题. 分为两个部分, 第一部分是通过对数字集~$D$ 的特征的刻画, 我们得出一个由其可产生自仿域的充分条件, 第二部分是刻画了特殊的自仿域, 即素数下整自仿~tiles 的数字集~$D$ 的特征.
????????一般情况下, 我们很难求出压缩仿射迭代函数系的吸引子~$T(M,D)$,因此要计算其~Lebesgue 测度~$mu(T)$ 就很困难, 并且我们已经知道,对于大多数对~$(M,D)$ 而言, 都有 ~$mu(T)=0$.所以我们更关注的是对于给定的矩阵~$M$, 数字集~$D$, 在什么样的条件下,有~$mu(T)>0$ 以及它的反面,即若~$mu(T)>0$,则相应的矩阵~$M$, 数字集~$D$必然要有怎样的性质. 这也正是近几年被广泛研究的重要课题.
??????? 本文的主要研究结果下:???????????????????????????
??????? 1. 得到一个自仿集是自仿域的充要条件, 并由此得出一个使数字集产生自仿域的充分条件, 即当~$D$ 是拟积形式数字集时,$T(M,D)$ 是自仿域. 这简化了文献[1]的相应结论的证明.
???????? 2. 探讨了素数下整自仿~tiles 其数字集~$D$ 的特征, 即若~$T(M,D)$是一个整数自仿~tile, 其中~$|$det($M)|=p$(素数)且满足~$pmathbb{Z}^{n}
subseteq M^{2}(mathbb{Z}^{n})$,则以下两个结论成立:?
????????? (i) $mathbb{Z}[M,D]
subseteq M(mathbb{Z}^{n})Leftrightarrow $$D$是~$mathbb{Z}^{n}/M(mathbb{Z}^{n})$ 的一个完全的陪集表示式.
??????????(ii) $mathbb{Z}[M,D]subseteq M(mathbb{Z}^{n})Leftrightarrow$$D=M^{gamma}D_{0}$, 其中~$gammainmathbb{N}^{*}$,$D_{0}$是~$mathbb{Z}^{n}/M(mathbb{Z}^{n})$ 的一个完全的陪集表示式.
?????????? 指出定理中的条件$pmathbb{Z}^{n}
subseteq M^{2}(mathbb{Z}^{n})$不是必须的,可被减弱为span$(D)=mathbb{R}^{n},$进一步地,在二维中不需附加任何条件也会产生相应的结论.
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