题目：两类生态模型的定性分析和Hopf分支

????? 自然界中各个种群之间貌似错综复杂,但其发展变化都会遵循一定的规律.如果掌握了其规律就可以让人类与自然界中的各个种群更加和谐的相处,同时也为自然界优良环境的持续生存与发展提供有效的保障.近年来大量研究成果已经广泛地应用于人口动力学、农业生产、医学等很多领域,为人类和大自然和谐相处提供了重要的理论支持.
?????? 通过对能够反映疾病传播的动态模型进行理论的定性分析和定量研究,为预防和控制流行病传播提供可靠的理论依据是传染病动力学研究的主要目标.本文首先研究了一类非线性流行病传播模型的持久性、有界性、正平衡态的存在性与稳定性.$Lyapunov$泛函在解决种群动力系统的持续性、稳定性等方面起着重要的作用.本章中通过构Lyapunov泛函、不等式估值等方法得到了模型局部渐近稳定的充分条件,并给出实例和曲线拟合验证了结论和条件的可实现性,即从理论上给出了上述系统病菌的传播得以控制的条件.
????? 动力系统的渐近行为揭示了解的稳定性、周期性等动力系统的长期行为.而生物种群的周期性变化往往会受到时滞的影响.其次,本文根据模型的特征方程特征根情况讨论了模型产生Hopf分支周期解的条件,并对时滞对解的影响进行了讨论.同时,应用Matlab对实例的理论结论的图象进行拟合,验证了文中定理的可实现性.
????? 上述讨论中假设总人口处于稳定状态,无因病死亡率,得到的结论仅仅是平衡位置的局部结果,全局结果仅对无病平衡点获得.因此,研究疾病引起死亡率和总人口数变化的流行病模型有其必要性.
????? 种群的持续生存和灭绝是种群动力学所研究的一个重要问题,而时滞对种群能否持续生存有着重要的影响,因此研究时滞产生Hopf分支周期解问题具有重要的实际意义.本文最后研究了一类具有放养率,含时滞和扰动参数的广义Logistic模型?的Hopf分支周期解问题.文中证明了平衡态的稳定性和局部$Hopf$分支的存在性;利用奇异摄动法和周期正交条件给出近似分支周期解的表达式;并举例说明定理条件与结论的可实现性,并通过曲线拟合图形讨论参数对分支周期解的周期及振幅的影响.
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