题目：M-闭包系统的确定及其乘积、和与商

余拓扑(即拓扑空间中闭集的全体)的确定是一个有趣的问题.由文献[17,18,23,25]知可以用预内部算子,预外部算子,预边界算子,预导算子,预差导算子,预邻域系算子或预远域系算子确定预余拓扑(它是余拓扑的一种推广).闭包系统(即预余拓扑的一种推广)是数学及计算机科学的许多领域都涉及的一种结构(参见文献[7,13]),本文推广闭包系统为$M$-闭包系统,并且证明了$M$-闭包系统与$M$-弱闭包算子、$M$-弱内部算子、$M$-弱外部算子、$M$-弱边界算子、$M$-弱导算子、$M$-弱差导算子、$M$-弱邻域系算子、$M$-弱远域系算子可以相互确定.此外,证明了$M$-闭包空间以及它们之间的连续映射所构成的范畴闭包空间范畴$M$-{f CS}是集合范畴$f Set$上的拓扑范畴但不是笛卡儿闭的(其中$M$是任一非空指标集).并在此基础上给出了乘积$M$-闭包空间、直和$M$-闭包空间以及商$M$-闭包空间的概念.
  论文的要点及主要内容如下:           第1章 预备知识.主要介绍了文中要用到的$M$-闭包系统及范畴的相关概念与结论.    第2章 首先定义了$M$-${f{WCL}}(X)$ ($X$上的$M$-弱闭包算子的全体)、$M$-${f{WIN}}(X)$ ($X$上的$M$-弱内部算子的全体)、$M$-${f{WOU}}(X)$ ($X$上的$M$-弱外部算子的全体)、$M$-${f{WB}}(X)$ ($X$上的$M$-弱边界算子的全体)、$M$-${f{WD}}(X)$ ($X$上的$M$-弱导算子的全体)、$M$-${f{WD^{*}}}(X)$ ($X$上的$M$-弱差导算子的全体)、$M$-${f{WR}}(X)$($X$上的$M$-弱远域系算子的全体)、$M$-${f{WN}}(X)$($X$上的$M$-弱邻域系算子的全体)上的偏序关系,    然后证明了这些偏序集是与($M$-${f{CS}}(X),leq)$同构的完备格. 
  第3章 首先证明了$M$-闭包空间范畴$M$-{f CS}是一个topological construct,在此基础上给出了乘积$M$-闭包空间、直和$M$-闭包空间及商$M$-闭包空间的一种(至少在范畴意义下是合理的)定义,最后举反例说明了$M$-闭包空间范畴$M$-{f CS}不是笛卡尔闭范畴.
vspace{0.2cm}{heitizihao{-4}   关键词} 闭包系统;$M$-闭包系统;topological construct;$M$-闭包空间范畴;乘积$M$-闭包空间;直和$M$-闭包空间;商$M$-闭包空间;笛卡尔闭范畴