题目：算子代数上的保不变子空间格映射和中心化子

算子代数理论产生于20世纪30年代, 随着这一理论的迅速发展,现在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支.它与量子力学,非交换几何, 线性系统, 控制理论,数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和互相渗透.为了进一步加深对算子代数的认识和理解, 近年来,越来越多的人们关注算子代数上一些映射的刻画问题,其中就包括线性保持,中心化子,导子问题等, 并发现了许多新颖的证明方法, 并不断提出新思路,如可交换映射,函数恒等式等概念的引入,目前这些映射已成为研究算子代数不可或缺的工具.本文在已有结论基础上主要对上三角矩阵代数上的保不变子空间格映射,标准算子代数和有限秩算子代数上的几个恒等式进行了刻画.本文分三章, 具体内容如下:
第一章主要介绍了本文要用到的一些符号,定义以及本文要用到的一些已知结论和定理.第一节我们主要介绍了上三角矩阵代数, 标准算子代数, 自伴算子代数,有限秩算子代数概念.第二节我们主要介绍了保不变子空间格映射, 素环,中心化子概念.第三节主要介绍了一些熟知的定理.
第二章主要对上三角矩阵代数$T_{n}$上的保不变子空间格映射$Phi$进行了刻画. 通过刻画此类映射的具体形式, 得到了$Phi$的形式为$Phi(A)=alpha A+varphi(A)I$.其中算子$Ain T_{n}$, $alphain mathbb{F}$, $varphi:T_{n}ightarrowmathbb{mathbb{F}}$.
第三章我们首先对标准算子代数$mathcal {A}$上的一类中心化子进行了刻画, 证明了满足$2Phi(A^{n+1})-Phi(A)A^{n}-A^{n}Phi(A)in {mathbb{F}}I$或$(s+t)Phi(A^{3})-sPhi(A^{2})A-tAPhi(A^{2})in {mathbb{F}}I$的映射$Phi$是中心化子;接着讨论了有限秩算子代数$mathcal {F}$$(X)$上满足$2Phi(A^{m+n})=Phi(A^{m})A^{n}+A^{n}Phi(A^{m})$或$(s+t)Phi(A^{n+1})=sPhi(A^{n})A+tAPhi(A^{n})$的映射$Phi$具有形式:$Phi(A)=lambda A$, 其中$lambda$为一固定常数.