题目：算子乘积的一类广义逆序律

广义逆理论创立于20世纪30年代,在数值计算,矩阵分析,统计学等学科中有着广泛的应用.1955年Penrose提出用四个方程定义广义逆, 使广义逆这一概念获得再生,并引起了学者们的广泛研究. 最近,多个矩阵或算子的乘积的广义逆的逆序律问题引起了很多学者的关注.文献[1],[3],[7]-[11]中主要探讨了两个矩阵乘积的逆序律问题,其方法主要是通过矩阵的秩来研究.在文献[1]中，Greville 给出了两个矩阵的乘积的Moore-Penrose 逆的逆序律成立的充分必要条件.这一结果被S.Izumino 推广到对无限维Hilbert 空间上有界线性算子仍然成立$^{[2]}$.文献[3]研究了两个矩阵乘积的${1,2,3}-$和${1,2,4}-$逆的逆序律.那么对于两个有界线性算子乘积的逆序律又如何呢? 本文充分利用算子分块的技巧研究了Hilbert空间上两个有界线性算子乘积的${1,3,4}-,$ ${1,2,3}-$和${1,3}-$逆的逆序律问题.
全文共分为四章, 各章主要内容如下:
第一章 首先介绍了文中用到的符号,然后给出了算子广义逆的定义,以及有界线性算子$A$在空间分解$H=R(A^*)oplus N(A)$ 和$K=R(A)oplus N(A^*)$ 下的广义逆的一般矩阵表示，并给出了后面章节要用到的一些引理.
第二章 研究了算子乘积的 ${1,3,4}-$逆的逆序律.首先给出了有界线性算子$A$在特定空间分解下${1,3,4}-$逆的矩阵表示,然后利用算子$A$, $B$ 和$AB$的值域与核空间的关系,对空间进行分块的方法,来考察两个算子乘积$AB$的?${1,3,4}-$逆的逆序律,给出了当$R(A),R(B)$ 和 $R(AB)$都闭时,$B{1,3,4}A{1,3,4}subset AB{1,3,4}$ 成立的充分必要条件为$R(A^*AB)=R(B)ominus (R(B)cap N(A))$且$B^*(R(B)cap N(A))=B^+(R(B)cap N(A)).$
第三章 研究了算子乘积的 ${1,2,3}-$逆的逆序律.首先给出了有界线性算子$A$在特定的空间分解下 ${1,2,3}-$逆的矩阵表示,然后探讨了两个线性算子乘积的${1,2,3}-$逆的逆序律,并证明了当$R(A),R(B)$和 $R(AB)$都闭时,$B{1,2,3}A{1,2,3}$ $subset AB{1,2,3 }$ 当且仅当 $R(A^*AB)=R(B)$ 或 $R(A^*)subset R(B).$
第四章 研究了算子乘积的 ${1,3}-$逆的逆序律.给出了算子$A$在特定的空间分解下${1,3}-$逆的矩阵表示,并探讨了两个线性算子乘积及混合型乘积的${1,3}-$逆的逆序律,证明出当$R(A),R(B)$和 $R(AB)$都闭时,$B{1,3}A{1,3}subset AB{1,3 }$ 和 $ {B^{(13)}(ABB^{(13)})^{(13)} }subset {(AB)^{(13)}}$分别成立的充分必要条件.