题目：初等算子范数的相关研究

算子理论是泛函分析中一个极其重要的研究领域,自从20世纪初von Neumann,Hilbert等建立算子理论以来,算子理论已得到了迅速发展并渗透到数学的各个分支,形成了一批经久不衰的研究课题,其研究内容涉及到基础数学与应用数学的许多分支,诸如代数学,几何理论,算子扰动理论,矩阵理论,逼近论与非交换概率论等等. 初等算子是算子代数理论的一个重要分支,而关于初等算子的范数的研究具有非常重要的意义,从而引起了很多学者的关注.本文研究的主要内容为初等算子$Delta_{A,B}$和长度为2的初等算子的范数等式,U不变范数不等式和奇异值不等式.
本文共分三章:
第一章主要介绍了在本文中用到的符号,定义.首先我们介绍了一些符号的表示意义,接着引入了初等算子,数值域,U不变范数等概念.
第二章我们讨论了初等算子$Delta_{A,B}$的范数.设$mathcal{H}$ 是复 Hilbert 空间,$mathcal B(mathcal{H})$ 表示$mathcal{H}$上的全体有界线性算子构成的代数.首先我们将要给出$|I+Delta_{A,B}|=1+|A||B|+|B|$的一个充要条件,其中$I$是${cal B(H)}$上的恒等算子,$Delta_{A,B}(X)=AXB+XB (forall Xin{cal B(H)}).$其次得到$|M_{A,B}+M_{C,D}|=|A||B|+|C||D|$成立的一个充分必要条件.
第三章我们讨论了长度为2的初等算子的酉不变范数不等式和奇异值不等式.设$mathcal {H}$是无限维可分的复Hilbert空间,用$mathcal {B}(mathcal {H})$ 表示$mathcal {H}$上的全体有界线性算子.我们首先讨论了如果$Xin B_{0}(mathcal{H})$ 和 $A,Bin B(mathcal{H})$使得一个是正的，另一个和$X$交换，则$interleave AXB-BXAinterleaveleq|A||B|interleaveXinterleave,$其中$interleavecdotinterleave$是酉不变范数和$|cdot|$是一般算子范数.另外,我们证明了长度为2的初等算子的一些奇异值不等式.