题目：保持矩阵乘积幂等性及完全保持立方幂等元的映射

 对算子代数上保持某些性质,子集,或关系不变的映射的研究就是保持问题,这种映射在许多情形下是代数同态或代数反同态,从而揭示了算子代数的固有性质,使人们进一步加深对算子代数的认识和理解.线性保持问题是保持问题研究的热点问题,并且取得了一系列丰硕的成功果(参考文献[5]).对于非线性保持问题,乘积问题,完全保持问题等其它的保持问题也吸引了越来越多的学者的兴趣(参考文献[1,2,3,5,21]).本文在诸多的文章研究的基础上,利用矩阵理论,讨论了保持两个上三角矩阵乘积和约当三乘积幂等性的线性映射及B(X)上完全保持立方幂等元的映射,得到以下结果:
1.     φ 是Tn上保持矩阵乘积非零幂等性的线性单射当且仅当存在一个可逆矩阵A∈Tn和常数λ∈{1,-1},使得要么               φ(X) =λAXA-1对所有X∈Tn都成立;要么n=2时, φ(X) =λAJXtJA-1对所有X∈Tn都成立,其中Xt表示X的转置.
2.     φ 是Tn上保持矩阵约当三乘积非零幂等性的线性单射当且仅当存在一个可逆矩阵A∈Tn和常数μ,且μ3= 1使得要么φ(X) =μAXA-1对所有X∈Tn都成立;要么φ(X) =μAJXtJA-1对所有X∈Tn都成立,其中Xt表示X的转置.
3.       设X是无限维复Banach空间,Φ是_B(X) → B(X)的满射,则下列陈述等价:
(1).Φ是双边完全保立方幂等性的映射;
(2).Φ是双边2-保立方幂等性的映射;
(3). 存在有界可逆线性或(复情形)共轭线性算子A : X→X 使得Φ(T) =λATA-1,对所有 T∈_B(X) 都成立,其中常数λ∈{1,-1}.