题目：关于Hilbert 空间效应代数与Riesz函数演算的一些研究

    本文从量子信息与量子计算和算子论与算子代数的关系入手, 运用算子谱论和算子代数的方法, 研究了效应代数中的一些未解决的问题,  得到了量子效应下确界和广义下确界的一些新的结论, 给出了序列积的存在性问题、 唯一性问题、量子效应代数的表示问题的一些新的结论, 提出了拟量子门的概念, 研究了对偶量子计算机的相关数学问题. 对于算子概率论中的几种收敛性进行了详细讨论, 得到了一些有意义的结论.最后, 研究了Riesz函数演算的Lipschitz性质. 主要内容包括:
    第一章介绍了效应代数和序列效应代数的概念, 讨论了Hilbert空间效应代数和序列效应代数的一些重要性质及其表示问题, 最后研究了Hilbert 空间效应代数中精确效应的下确界问题.
    第二章 研究了关于量子效应广义下确界和序列积的若干问题.
    第三章讨论了对偶计算机的问题, 给出了拟量子门的概念, 并讨论了拟量子门的一些重要性质, 最后指出Gudder关于对偶计算机的一篇论文中的错误, 并给出了部分结果.
    第四章首先介绍了量子概率论的相关概念, 然后利用算子论的方法讨论了量子概率论中的各种收敛性的问题.
    第五章首先介绍了Lipschitz函数的相关概念, 然后讨论了Riesz函数演算的Lipschitz性质.
本文所取得的研究成果分为以下十个方面：
    (1) 首先运用一种简单的方法证明了Kadison的一个结果: 设A, Binmbox{Her}(mathcal {B}(H))$, 则 $Awedge B$ 在$mbox{Her}(mathcal{B}(H))$存在当且仅当$A$和$B$可比较;
    (2) S. Gudder 证明了: 设$dim H<+infty$, 若$A,Bin mathcal{E}(H)$是单射, 则$Awedge B$存在的充要条件是 $A$和$B$可比较.本文给出一个反例说明上面结论在无限维空间是不成立的; 还通过一个例子给出: $Awedge B$和$A^2wedgeB^2$在$mathcal{E}(H)$中存在,但是$A^2wedge B^2=(Awedge B)^2$ 不一定成立;
    (3) 讨论了序列代数上序列积唯一性问题和效应代数的表示问题; 得到当$H$是一个可分的复Hilbert空间且$dimH=infty$时,有$overline{P(H)}^c=mathcal{E}(H)$.
   (4) 利用算子代数与算子论的方法推广了文献[15]中的结果, 指出了文献[15]中定理3.2证明中的一个错误, 给出了一个正确的证明过程. 最后, 给出了广义下确界$Asqcap B$的一些有意义的结论, 证明了若$Ain mathcal{E}(H), Pin{mathcal{P}}(mathcal{H})$, 则$A sqcap P in{mathcal{E}}(H)$ 当且仅当$AP=PA.$
    (5)K提出了拟量子门的概念. 研究了它们的一些重要性质, 最后指出Gudder关于对偶计算机的一篇论文的错误,并给出了部分结果.
    (6)若$Ainmathcal{B}(H)$, 则对于任意$xin H, |x|=1$, 有 $P_x:=xotimes xinmathcal {D}(H)$和$$E_{P_x}(A)=,   |mbox{Var}|(A)= |Ax|^2-||^2;$$
    (7)存在常数$lambda_0in C$, 使得 $sup{|mbox{Var}_{P_x}|(A):xin H,|x|=1}=inf{|A-lambda|^2: lambdainC}=|A-lambda_0|^2$成立.
    (8) 给出了若${A_n}_{n=1}^infty$在$overline{mathcal{R}(ho)}$上强收敛于$A$, 则$A_nightarrow A$a.s.$[ho]$;
    (9) 如果$ho$具有$ho=sum_{i=1}^inftylambda_iP_{x_i}$的形式,而且$lambda_i>0(i=1,2,cdots)$, 则
    (a)$A_n$在$overline{mathcal{R}(ho)}$上强收敛于$A$当且仅当${A_n}$一致有界, 且$A_nightarrow A$ a.s.$[ho]$.
   (b)若$ho$是忠实的, 则$A_n$强收敛于$A$当且仅当${A_n}$一致有界,且$A_nightarrow A$ a.s.$[ho]$.
    (10)设$A$是具有单位的复Banach代数,$Omega$为复平面{Bbb{C}}上的一个区域,$gamma$是复平面上的任一可求长的封闭曲线且其内部区域$mbox{ins}(gamma)subsetOmega$,证明了存在$A$的子集${A}_{delta}^{gamma}$, 使得对于$Omega$上的任一解析函数$f$, Riesz函数演算${f f}:xmapsto {ff}(x)$是从${A}_{delta}^{gamma}$到$A$中的 Lipschitz映射, 即${ff}in L^1({A}_{delta}^{gamma},A)$且其Lipschitz常数$L_1({ff})lefrac{M_f(gamma)Gamma}{2pi{delta}^2}$.作为这一结果的应用, 研究了算子值的根式函数$TmapstoT^{frac{1}{m}}$及绝对值函数$Tmapsto |T|$的Lipschitz性质.最后, 证明了: 若$f$为一个复值整函数, 则对任一有界集 $Esubset A$,有${f f}in L^1(E,A)$.