题目：SC模型下新的开口膜泡形状的探究

类脂分子是一种双亲分子，它由一个亲水的极性头部和一条或两条疏水的非极性尾部（烃链）组成，类脂分子在水溶液中倾向于形成头部向外、烃链向内的双分子层，类脂双层在适当浓度会形成闭合的泡。实验上观测到形状丰富的闭合膜泡，我们把这种膜泡看作是在特定条件下的一个平衡态。
Canham首先提出膜的曲率弹性模型，后来Helfrich提出了自发曲率（SC）模型。 考虑到膜的双层结构，人们又提出了双层耦合（BC）模型和面积差弹性（ADE）模型。 这些模型的要点在于认为膜泡的构型并不是由其表面张力决定，而是由其表面弯曲能决定的。基于三个曲率模型，人们对闭合膜泡的形状已进行了大量的计算。
以往人们认为只有闭合的膜泡是稳定的，然而近期的研究发现一些有机化学试剂如Protein Talin（一种蛋白质）能够在类脂膜上打开稳定的孔洞。 1998年，日本的A.Saitoh等人首次使用一定浓度的Talin分子将闭合膜泡打开，并且开口的大小随着Talin浓度而变，这一过程在一定条件下还是可逆的。
在理论上，墨西哥的R. Capovilla 等人首先给出了在一定线张力下，开口膜泡的平衡方程及边界条件。 涂展春和欧阳将外微分法用于处理曲面上的变分问题，导出了同样的结果。对开口膜泡，其欧拉-拉格朗日方程与闭合膜泡一样,但在边界上要加上两个独立的边界条件，其数值解法也要作相应的改变。
由于膜泡的形状方程为高阶非线性偏微分方程，目前只知道有限的特解。为了与实验结果比较，只能采用数值计算的方法。对膜泡形状的数值计算，分两种情况：
（1）对旋转对称性的形状，该方程可化为常微分方程进行数值求解。
（2）对非旋转对称性形状，因没有求解该偏微分方程的一般数值方法，通常采用直接极小化法。目前最常采用的的是在Evolver下编程计算。
对开口膜泡，目前还没有直接极小化的结果发表。对旋转对称性膜泡，T.Umeda等人在SC模型及ADE模型下数值计算了杯形及管型的平衡形状。相比于闭合膜泡的丰富形状，目前对开口膜泡形状的探索还很有限。
本文研究SC模型下闭合膜泡和开口膜泡的形状及其演化。旨在提供一种数值解闭合膜泡和开口膜泡的方法，结合Mathematica软件，对轴对称的膜泡形状我们得到的主要结果如下：
（1）通过与少数已知的解析结果如球形的对比，我们深入讨论了计算过程的误差问题；
（2）通过对计算方法的不断改进，找到了求解闭合膜泡的方法，定义为二维法,得到了丰富的闭合膜泡，长椭，扁椭，三角形，梨形，胃型等；
（3）理论推导出n-budding闭合形状对应的约化自发曲率；在此基础上得出n-budding开口膜泡可存在于处。 理论推导出开口膜泡的三个边界之间的关系，得到只有两个是独立的；ongdienggng
（4）利用二维法，计算了开口膜泡形状并对开口膜泡的标度不变性进行验证；
（5）建立求解开口膜泡的三维法。对时采用我们的方法对杯形开口膜泡形状及能量进行计算，与Y. Suezaki和T. Umeda的结果一致；
（6）运用三维法在时，得到了在2-budding开口的新形状，给出了膜泡的形状以及能量与线张力系数的关系；
（7）运用三维法在及时，得到了3-budding开口形状。