题目：保持算子乘积投影性及*-可乘映射的研究

线性保持问题是算子代数理论中最活跃的研究课题之一.在过去的几十年里,许多学者对保持问题进行了深入的研究和推广.最近,关于算子乘积的保持问题及可乘映射的可加性问题受到人们的关注,例如文献[1-3].本文在已有文献的基础上,主要研究了保持算子乘积和约当三乘积投影性的线性映射以及保持*-可乘和约当*-可乘的双射.本文共分三章:
第一章主要介绍了文章中所要用到的符号,基本概念及所要用到的基本定理.首先介绍了一些符号的表示意义,并分别给出了保持算子乘积投影和算子约当三乘积投影以及保持*-可乘和约当*-可乘等基本概念的定义,最后介绍了线性保持问题中经常用到的已知结论.
第二章主要研究了$mathcal {B}(mathcal {H})$上保持两个算子乘积和约当三乘积非零投影性的线性满射.给出了$mathcal {B}(mathcal {H})$上的线性满射$varphi$保持两个算子乘积非零投影性当且仅当存在一个酉算子$U in  mathcal {B}(mathcal {H})$和常数$lambda in {1,-1}$使得$varphi(X)=lambda UXU^{*}$对所有$Xin mathcal {B}(mathcal {H})$都成立;$mathcal {B}(mathcal {H})$上的线性满射$varphi$保持两个算子约当三乘积非零投影性当且仅当存在常数 $lambda$满足$lambda^{3}=1$使得$varphi$具有下列形式之一:
(1)存在一个酉算子$U in  mathcal {B}(mathcal {H})$,使得$varphi(X)=lambda UXU^{*}$对所有$Xin mathcal {B}(mathcal {H})$都成立;
(2)存在一个反酉算子$U in  mathcal {B}(mathcal {H})$,使得$varphi(X)=lambda UX^{*}U^{*}$对所有$Xin mathcal {B}(mathcal {H})$都成立.
第三章主要研究了$mathcal {B}(mathcal {H})$上一类保持*-可乘和约当*-可乘的双射.证明了$mathcal {B}(mathcal {H})$上的一类双射$varphi$保持*-可乘当且仅当$varphi$是*-同构或者共轭*-同构;$mathcal {B}(mathcal {H})$上的一类双射$varphi$保持约当*-可乘当且仅当$varphi$具有下列形式之一:
(1)存在一个酉算子或反酉算子$U in  mathcal {B}(mathcal {H})$,使得$varphi(X)=varphi(I)UXU^{*}$对所有$Xin mathcal {B}(mathcal {H})$都成立;
(2)存在一个酉算子或反酉算子$U in  mathcal {B}(mathcal {H})$,使得$varphi(X)=varphi(I)UX^{*}U^{*}$对所有$Xin mathcal {B}(mathcal {H})$都成立.