题目：子群的几类性质对有限群结构的影响

摘要: 在群论的研究中, 一个子群的共轭子群在很多方面扮演着非常重要的角色, 对群的结构有重大的影响.  子群H的正规化子NG(H)在G中的指数|G: NG(H)|反映了H在G中的共轭子群的个数. 通过子群的共轭子群来研究有限群, 可从如下三方面进行:         (1) 通过考察特定子群的共轭子群的个数或相应正规化子的性质来研究有限群. 如著名的Sylow定理和关于p-幂零的Burnside定理及Frobenius定理.         (2) 通过考察特定子群的共轭类类数来研究有限群. 如对非正规子群的共轭类类数为0的群即Dedekind群进行分类(见文献[1, Theorem 5. 3. 7]); 对非正规子群的共轭类类数为1的有限群进行分类(见文献[2]).         (3) 通过考察子群的共轭子群与特定子群的乘积成群来研究有限群. 如通过共轭置换子群(H为G的共轭置换子群, 如果对任意g 属于G有HHg=HgH)来研究群(见文献[3]), 再有通过弱拟正规子群(H为G的弱拟正规子群, 如果对任意Kx=KxH, 某x属于G)来研究群(见文献[4,5]).        本文利用非正规子群的共轭类类数和共轭子群与特定子群的乘积成群来刻画有限群的结构, 共分四章, 主要有如下结果:
        在第二章中, 通过考察非正规子群的共轭类类数, 得到了: (1) 非正规子群的共轭类类数与有限群可解的关系; (2) 非正规子群的共轭类类数为2的有限群的完全分类, 并指出了Mousavi 在文[6,Theorem I]中给出的非正规子群的共轭类类数为２的有限群的错误; (3) 非正规子群的共轭类类数为3的有限群的完全分类; (4) 非正规子群的共轭类类数为4的有限非幂零群的分类.
         在第三、四章中, 利用弱拟正规子群和共轭置换子群, 考察了它们对有限群幂零性或可解性的影响.
 关键词:非正规子群, 共轭类类数, 可解群, 幂零群, Dedekind群, 弱拟正规子群, 共轭置换子群