题目：三类Quantale结构及其范畴性质的研究

自从C. J. Mulvey于1986年提出Quantale概念以来,Quantale理论受到了数学家和逻辑学家的关注.在短短的二十几年中,有关Quantale理论的大量新的观点及应用相继被给出.对它的研究涉及到非交换C*_代数、线性逻辑、环理想理论和计算机科学等诸多领域.Quantale概念提出的目的在于给研究非交换C*_代数提供新的格式刻画, 给量子力学提供新的数学模型,并为研究非可换结构提供了一种有力的手段.由于Quantale可以看做是Frame的一般化,因此,其自身的内在结构也有丰富的内容.本文一方面对幂等Quantale, ⊙-对合Quantale及Quantale代数的若干性质作了较为细致而深入的研究.另一方面,本文从范畴论的角度讨论了⊙-对合Quantale及Quantale代数的范畴性质.其主要内容如下:
第一章  预备知识. 本章给出了将要用到的Quantale理论和范畴理论的基本概念和结果.
第二章  幂等Quantale.首先给出了Quantale中滤子的定义,在幂等的左半可换Quantale的条件下,通过Quantale核映射,证明了Fil(Q)是2Q的幂等商Quantale.最后,给出了滤子空间的定义,在幂等Quantale的基础上讨论了滤子空间的拓扑性质.
第三章  ⊙-对合Quantale.首先给出了⊙-对合Quantale的概念, ⊙-对合Quantale的若干例子及其一些简单的性质.其次,在⊙-对合Quantale中给出了⊙-对合Quantale余核映射, ⊙-对合理想和子⊙-对合Quantale的概念.研究了⊙-对合Quantale余核映射与子⊙-对合Quantale之间的关系,及⊙-对合理想的一些性质.最后,讨论了⊙-对合Quantale范畴中逆系统的相关性质,得到了逆系统的逆极限结构,引入了两个逆系统之间映射的定义,由此导出了⊙-对合Quantale范畴中的两个逆系统的极限之间的极限映射.
第四章  Quantale代数.首先给出了Quantale代数的定义,及Quantale代数的若干例子,讨论了Quantale代数的一些性质.得到了单位Quantale是Quantale代数的充要条件.其次给出了Quantale代数中代数理想的定义,构造了一些代数理想.讨论了Quantale代数中理想与代数理想的关系,找到了理想不是代数理想的具体例子.最后讨论了Quantale代数的范畴性质,研究了Quantale代数范畴中常值态射,余常值态射等特殊态射和始对象,终对象等特殊对象,给出了它们的具体刻画.证明了Quantale代数范畴既是点化范畴又是连通范畴,给出了Quantale代数的范畴中的等子,余等子的结构,证明了Quantale代数范畴有乘积和拉回.