题目：效应数及伪效应代数结构的研究

       量子逻辑是量子力学(它是一套构造物理学   理论的规则)存在的数学基础. 自从1936年, G. Birkhoff 和 J. von. Neumann 提出量子逻辑的概念以来, 完备的复可分的无限维希尔伯特空间中的闭子空间格, 作为一种正交模格,一直是量子逻辑研究的主要数学模型. 然而, 在上个世纪60年代到90年代, 许多新的量子结构不断出现,例如正交模偏序集、正交代数和弱正交代数等.到上个世纪90年代, 斯洛伐克学派和意大利学派通过在模糊集上引入部分差运算而抽象出了差分偏序集的定义. 接着美国学派通过抽象希尔伯特空间效应代数提出了与差分偏序集等价的效应代数的定义. 这些相互等价的定义将代数的和模糊集的思想结合在了一起.
 
       效应代数和伪效应代数这两类量子结构已经代替其他的量子结构成为当前量子逻辑研究的主要对象. 正交代数是量子测量中的sharp元之集, 而MV代数是量子测量中的相容元之集.效应代数可以体现量子测量中的sharp和unsharp问题.  而伪MV代数以及伪效应代数可以满足物理系统中的非交换性的需要.
     本文从代数的角度去研究量子逻辑, 主要考虑效应代数及伪效应代数的代数结构. 本文的工作有以下几个方面：
(1) 研究了区间效应代数的结构.
 本文第二章引入了N可分效应代数的定义,  证明了N可分效应代数是区间效应代数.
在第三章中利用偏序可换群的张量积研究了区间效应代数的张量积, 证明了区间效应代数[0,1]与[0,1]的张量积不是格序的,从而证明了[0,1]?[0,1]≠0,1]. 
第四章给出了非Archimedean的具有Riesz分解性质的效应代数的比较完整的代数结构.  讨论了非Archimedean的具有Riesz分解性质的效应代数中无限小元的性质; 通过无限小元构成的理想作商研究了E完全效应代数的结构;证明了E完全效应代数同构于Archimedean效应代数与上定向的偏序Abelian群的字典序乘积.
(2) 澄清了部分可换幺半群中Riesz子代数与Riesz理想的关系.
对区间效应代数的研究事实上是对偏序可换群的某个区间的研究, 从而对部分可换幺半群的研究对量子结构的研究有重要的意义. 在第五章中引入了部分可换幺半群的子代数的定义, 讨论了由子代数诱导的二元关系, 研究了上定向的具有Riesz分解性质的广义效应代数的结构. 证明了上定向的具有Riesz分解性质的广义效应代数的子直积表示定理.
 
(3) 给出了由一些MV代数粘合成格效应代数的方法. 
 若格效应代数中的任何元素之间是相容的,则此效应代数是MV代数. 称格效应代数中的极大的相容元之集是效应代数中的块.那么任何一个格效应代数都是其块的并,即格效应代数都可以表示成一族MV代数的并. 反之,如何将一族MV代数粘合成一个效应代数或格效应代数呢？
在第六章中给出了将一族MV代数粘合成一个效应代数或格效应代数的方法.引入了MV代数环的定义及条件(A), 证明了环引理, 即满足条件(A)的一族MV代数的粘合是格效应代数当且仅当这族MV代数不含有3阶环及4阶环. 引入了MV代数及效应代数Greechie图的定义, 用Greechie图表示了一些没有态的格效应代数. 给出了由正交模格通过原子的替换得到格效应代数的方法. 证明了任何有限的只含有1型原子的格效应代数都可以通过正交模格得到.
(4) 引入了弱可换的伪效应代数的定义并利用弱可换的伪效应代数中的特殊元、理想及同余研究了弱可换的伪效应代数的代数结构.
 在第七章中给出了弱可换的伪效应代数及弱可换的广义伪效应代数的定义,   证明了弱可换的广义伪效应代数是弱可换的伪效应代数的序理想, 并给出了由弱可换的广义伪效应代数构造弱可换的伪效应代数的方法. 对伪效应代数中的分明元、主要元、中心元 进行了刻画.   在第八章中证明了在上定向的广义伪效应代数中的正规的Riesz理想之格与Riesz同余之格之间存在序同构. 给出了弱可换的广义伪效应代数的商代数是广义效应代数的充分必要条件以及 弱可换的广义伪效应代数的商代数是线性的充分必要条件. 接着给出了如下结论:   (i)弱可换的广义伪效应代数P中的同余关系可以扩充到其单位化中的同余关系的充分必要条件;   (ii)弱可换的广义伪效应代数P中的正规的Riesz理想I也是弱可换的广义伪效应代数的单位化中的正规的Riesz理想的充分必要条件.