题目：三类生态模型的Hopf分支和定性分析

        动力系统解的渐近行为是一个具有丰富内涵的重要概念,主要包括解的存在唯一性、稳定性、振动性及周期性等内容.这些内容揭示了动力系统的长期行为,因此它们在生态学、人口动力学和经济学等众多领域中发挥了重要的作用.在生态学中研究种群的共存性、稳定性和振动性等,对于保持生态平衡,保护生态环境甚至挽救濒临灭绝的珍惜生态种群具有非常重要的实际意义.       捕食与被捕食模型是自然界中生物之间相互作用的重要现象之一.本文第2章研究了一类具有干扰的捕食与被捕食模型的全局稳定性及极限环的存在唯一性.利用特征值定理,构造Lyapunov函数与张芷芬唯一性定理等方法分别得到该模型正平衡态的局部渐近稳定性,全局稳定性及极限环的存在唯一性的充分条件.给出实例并运用Matlab绘出模型的拟合图像.       在生态学中,生物种群的变化往往受到时滞的影响,对于大量种群而言,其密度的变化都要受到外界的干扰,而时滞对种群数量具有有效的控制作用.本文第3章研究了一类具有时滞,且含扰动参数 heta和常数收获率的Logistic模型的Hopf分支问题.首先根据特征值理论得到该模型产生Hopf分支的条件;然后用周期函数正交性方法得到其近似分支周期解的表达式;最后举例验证了定理的可实现性,利用$Matlab$得到了其参数取不同数值时的曲线拟合图,并讨论了参数对周期解的周期和振幅的影响.       脉冲微分方程理论的研究，不仅丰富了已有的相匹配的微分方程理论,而且为研究物理、生物及经济等诸多方面的过程和现象,提供了更好的数学模型.虽然关于非脉冲微分方程各种性质的理论得到了广泛的发展,但由于脉冲微分方程许多理论和方法的特殊性使得其发展仍相对缓慢.本文第4章在第3章模型的基础上讨论了变系数的具有脉冲的时滞微分方程的解的吸引性和振动性.根据脉冲时滞微分方程与时滞微分方程及微分方程三者之间的关系,运用函数的单调性,微分中值定理及比较原理得到了系统周期解的存在与唯一性,分别给出了解的全局吸引与所有解振动的充分条件.