题目：P循环矩阵的SOR-k迭代法

对于线性方程组$Ax=b$的求解,主要有直接法求解和迭代法求解.高斯消元法是直接解法里最重要的解法.大型线性方程组的求解是大规模科学与工程计算的核心.随着生产实践的发展,迭代法已取代直接解法成为求解大型线性方程组的最重要的一类解法.而判断迭代法好坏的标准通常是通过收敛速度来刻画,不收敛的格式当然不能用,我们应该寻求一种收敛速度比较快的迭代方法.一般来说,迭代法的收敛性与方程组系数矩阵的性质有着密切的关系,例如非负阵、循环阵、$M$阵、$H$阵等等.因此,讨论某种迭代法时,往往是在指定矩阵类型的前提下进行的.
本文主要讨论了系数矩阵为对角线元素非零的$P$循环矩阵SOR-k迭代法和SSOR-k方法的谱半径和最优参数的比较问题.本文的结构和各章的主要内容如下:
第一章 绪论.首先回顾了一些基本迭代法,最后说明了本文的主要研究工作.
第二章 预备知识.这部分主要是为了第三、四章做准备的.首先,介绍了一些基本定义和定理.例如循环阵、相容次序矩阵等;其次,介绍了求解线性方程组的SOR-p和SSOR-p方法.
第三章 SOR-k方法及比较定理.这一章是本文的主要部分,我们主要考虑了将$p$循环矩阵划分为$k$循环矩阵$(2leq kleq p)$来解决$p$循环系统$Ax=b(p>2)$的SOR-k方法.Evans和Li在隐函数存在和可微的假定下,比较了SOR-k迭代矩阵$L_{omega}^{(k)}(2leq kleq p)$的最优谱半径.基于上述假定并未说明$g(x)$的可定义性和可微性,为了定理证明的完整和准确性,本文给出了$g(x)$可定义性和可微性的证明.同时,还研究了当$B^{p}$仅有非正特征值时SOR-k方法的最优参数$omega_{b}^{(k)}$随着$k$由2增大到$p$的变化情况, 并得到了SOR-k方法的最优参数$omega_{b}^{(k)}$随着$k$由2增大到$p$是逐渐增大的结论.
第四章 SSOR-k方法的一个数值观察.这一章主要考虑了将$p$循环矩阵划分为$k$循环矩阵$(2leq kleq p)$来解决$p$循环系统$Ax=b(p>2)$的SSOR-k方法.并通过数值例子说明了不能建立SSOR-k方法的最优谱半径$minlimits_{omega}ho(Z_{omega}^{(k)})$随着$k$由2增大到$p$的比较定理.