题目：三次PE收敛性分析和预条件下不同迭代法的比较

   
对于求解大型的线性方程组,迭代方法已取代直接法成为最重要的一类方法.而判断迭代法好坏的标准通常是通过收敛速度来刻画,因此迭代方法的收敛速度成为一个很重要的问题.从而我们应该找一种收敛速度比较快的迭代方法,这样才有实际的价值.为了更好更快地解线性方程组,本文从两个角度论证了迭代法的收敛性.首先在文献[1][2][4]的基础上,提出了三次PE法,证明了当系数矩阵$A$为非奇异阵时,它的可解性和收敛性;其次引进了非奇异预条件矩阵,提出了在应用上更具有广泛性的预条件迭代法;最后,在文献[33]的基础上把AOR与USSOR迭代进行比较.当其迭代格式中的某些参数加以限制时,得到我们认为更好的迭代方法,从而使预条件比较定理的成果更具有一般性,且应用范围扩大了.
下面介绍本文的结构和主要内容.
第一章:绪论.首先说明迭代法的发展背景;其次说明最常见的几种定常线性迭代格式及其收敛的判定;然后回顾了部分预条件矩阵及研究现状;最后叙述了本文的主要研究工作.
第二章:   三次PE法收敛性分析.本文在William S.Helliwell$^{[1]}$提出的拟消去迭代法的基础上,推广了文献[2][4],建立了三次PE法,证明了当系数矩阵$A$为非奇异阵时,它的可解性和收敛性.同时数值例子也进一步说明三次PE方法的迭代次数不会随矩阵阶数的升高而大幅度增大,而且三次PE方法的计算时间比一次和二次PE方法的时间明显减少.
第三章 :$(I+S_{max})$   预条件下不同迭代法的比较.首先在Kotakemori et al[17]提出的预条件矩阵$P_{m}$ 基础上(其中预条件矩阵$P_{m}$  在一些情况下等于Gunawardena et al [9] 中的预条件矩阵$P_{s}$  ,当$i=1,2,cdots,n-1$ 时,矩阵$A=(a_{ij})$ 中的元素$a_{ii+1}$ 在矩阵$A$的上三角矩阵中每行元素绝对值最大时,预条件矩阵$P_{m}$  等于预条件矩阵$P_{s}$),作者提出了在预条件矩阵$P_{m}$下的2PPJ，AOR和USSOR迭代方法，推广了Kotakemori et al[17]中预条件矩阵Gauss-Seidel迭代方法;其次,在线性方程组的系数矩阵$A$是非奇异$M$矩阵的前提下,得到了一系列比较定理,这推广了Kotakemori et al[17] 中$A$ 是不可约对角占优的 $Z-$阵的前提.
 第四章：AOR和USSOR(非对称逐次超松弛法)迭代法的比较.AOR和USSOR的迭代矩阵中都含有两参数,且这两种迭代更具广泛性.当参数取不同值时可包含SOR迭代,G-S迭代,Jacobi迭代和SSOR迭代.我们首先论证了当$omega_{1}=gamma,omega_{2}=omega$
且$0leq gammaleq omegaleq 1(omega
eq 0)$ 时,USSOR迭代优于AOR迭代;其次证明了预条件矩阵$P_{m}$下这种结论也成立,从而推广了文献[33].由于USSOR法的迭代矩阵形式较复杂,计算麻烦,要直接判别其敛散性是比较困难的,因此可通过AOR迭代矩阵的谱半径来判断USSOR法的敛散性,这样就简单多了.
第五章:提出的问题.这部分是对前面内容的更深一步的探讨和研究,也是今后我们继续努力的方向,需要进一步的思考.
 
关键词： 三次PE方法,收敛性,预条件矩阵,比较定理,谱半径