题目：双向加细函数和双向小波若干问题研究

小波分析是当今应用数学领域中一种广泛的使用工具,它对当前的理论科学,应用科学,尤其是信息科学,产生了重要影响;对非线性科学,智能计算,神经网络与信息安全,地震和地质结构,潮汐等方面研究有很好的推动作用.小波的应用和小波快速算法在算子方程的应用,同信号和图像分析在数字处理中应用一样广泛.
  本文通过小波框架的构造,建立完全重构的多相位线性滤波器:高通滤波器,低通滤波器,变通滤波器.其中低通滤波器在一定条件满足一个连续的尺度函数,对尺度函数进行逆傅立叶变换,得到的尺度函数是加细函数的一个解,由此,引出双向加细函数和双向小波的概念,研究双向加细方程的稳定解的存在性.加细函数通常是由矢量函数的伸缩性及包容性在某个子空间的Riesz基函数展开推导的,加细函数中系数通常称为函数的面具,两尺度加细函数构造一对正交双向小波基.两尺度加细函数在小波的构造和应用中起到非常主要的作用.
  同时为了研究加细函数多分辨分析下的Riesz基,引入级联算子和变换算子.加细函数的面具在指数衰减情况下,变换算子是  Banch空间的一种紧算子.由这种紧算子的谱理论,加细函数的面具在指数衰减情况下,级联算子同变换算子的刻画  一致.主要的研究成果是多分辨分析下的紧支撑小波Riesz基在各种情况下的完整刻画.本文主要分四部分:    第一章,绪论.概述小波发展和双向加细函数及Riesz基的有关基本知识.    第二章,在信号空间内,通过线性多相位重构和分解滤波器,构造内插框架.滤波器基于离散样条同Butterworth滤波器有紧密联系.以子框架,双框架为例,研究它们紧支撑,消失矩,(反)对称性,光滑性等性质,最后举出双框架的算例.
第三章,引入双向加细函数和双向小波的概念,通过双向加细函数的正交准则,双向加细函数基于完备仿射集小波特征,建立小波的Riesz基.在指数衰减情况下,研究双向加细方程,在L2稳定解的存在性,得到双向多辨分析紧支撑小波的Riesz基完整刻划.
第四章,利用滤波器,研究在高密度离散小波变换下消失矩的框架函数,由多带小波与多小波的设计启示,推导出小波的应用与算法的关系.并进一步研究在不同消失矩个数作用下的紧框架,以及尺度函数与小波函数的关系.
总结,主要阐述双向加细函数和双向小波的研究进展和发展前景.