题目：N物种Lotka-Volterra模型解的性质分析

自从反应扩散方程被用来描述生物学中许多生物规律和现象以来,一直吸引着大量的专家和学者的注意,并形成了许多具有很强实际背景的新课题. 在生态系统中, 由于生存空间,食物等竞争因素的影响,种群间就会产生竞争、互助、捕食与被捕食等一系列过程, 从而导致物种的出生、生长、死亡. 于是, 研究具有竞争、互助、捕食与被捕食关系的种群的共存性, 稳定性或周期持续共存,对于保持生态平衡, 保护生态环境甚至挽救频临灭绝的珍稀生物等具有非常重要的实际意义.
本文分三部分内容：
第一部分分别讨论了具有N个物种的Lotka-Volterra互惠模型(1)、捕食与被捕食模型(2)、食物链模型(3)并利用一般反应扩散系统的上下解方法及最大值原理等分别讨论了其平衡解的存在性及全局渐近稳定性.
另外, Lotka-Volterra模型中如果加上一些环境,季节等因素,即各参数为x或t的函数,特别是为T-周期函数,方程将出现周期解的情况.
第二部分讨论了第一部分中三类模型相应的周期系统.  我们利用上下解方法及构造单调迭代列等分别解决了三类周期系统的正解的共存态,得到了系统正周期解的存在性及其渐近稳定性的充分条件.
第三部分研究了一类两个物种同时带有饱和项的互惠模型平衡态正解的存在性，首先利用极值原理及上下解方法得到了此解的先验估计, 然后利用分歧理论和度理论研究了两种情况下非常数平衡解的存在性以及全局分歧解的结构.