题目：Von Neumann 代数上的保持映射与Lie映射

算子代数理论产生于20世纪30年代, 随着这一理论的迅速发展,现在这一理论已成为现代数学中一个令人关注的分支.它与量子力学,非交换几何, 线性系统, 控制理论,数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系和互相渗透.为了进一步探讨算子代数的结构, 近年来, 国内外诸多学者对算子代数上的映射进行了深入的研究,如保交换映射, 强保交换映射, 导子, 双导子, Lie导子, 中心化子等. 发现了许多新颖的证明方法, 并不断提出新思路,如可交换映射, 函数恒等式等概念的引入,目前这些映射已成为研究算子代数不可或缺的工具.其中因子von Neumann 代数是一类重要的中心闭素代数.本文主要对因子von Neumann 代数上的的非线性强保交换映射和多项式零点保持线性映射, 标准算子代数上的Lie双导子和广义Lie双导子以及中心化子的结构问题进行了探讨.本文分四章, 具体内容如下:
第一章主要介绍了本文要用到的一些符号,定义以及本文要用到的一些已知结论和定理.第一节我们主要介绍因子von Neumann 代数, 标准算子代数, 套代数概念. 第二节主要介绍了保交换映射, 强保交换映射, 导子, 双导子, Lie导子, 广义Lie导子, Lie双导子和广义Lie双导子,中心化子等定义.第三节介绍了一些熟知的命题和定理.
第二章主要讨论了因子von Neumann 代数M上非线性强保交换映射, 刻画此类映射的具体形式. 接着我们对因子von Neumann 代数上的多项式xy-yx*零点保持线性映射进行了研究, 证明了这样的映射是一个非零实数和*-自同构的乘积.
第三章我们研究了标准算子代数上的Lie双导子和广义Lie双导子的结构.
第四章主要对标准算子代数上的一类中心化子进行了刻画.