题目：Quantale模范畴与Z-quantale结构的研究

自从C. J. Mulvey于1986年提出Quantale概念以来,Quantale理论受到了数学家和逻辑学家的广泛关注.对它的研究涉及到非交换的$C^{*}$-代数、环的理想理论、逻辑和计算机科学等诸多领域.由于Quantale可以看作是Frame的一般化,所以其自身具有丰富的序结构和代数结构,与此相关的拓扑结构以及范畴结构也有丰富的研究内容.本文对Quantale在格与半群意义下的理想、Quantale模范畴的代数性、$Z$-quantale的若干性质作了较为细致而深入的研究.其主要内容如下: 第一章 预备知识. 本章给出了将要用到的Quantale理论和范畴理论的基本概念和结论.
第二章 Quantale中理想的扩张和素根定理. 首先给出了Quantale中理想的一些性质和结论.其次,引入了Quantale中理想的扩张的概念,在此基础上证明了与序半群中的一些经典结论相一致的命题.通过理想的扩张构造了一个Quantale上的同余,得到了当原理想是素理想时,这个同余所确定的Quantale商是Frame且找到了它的具体结构.最后,给出了Quantale中$m$系的概念,在此基础上讨论了Quantale中素理想、半素理想的性质和它们之间的关系.得到了当$Q$是可换Quantale时,$Id(Q)$是空间式Quantale当且仅当$Q$中的任一理想都是半素理想.接着把环论和序半群理论中的素根定理推广到Quantale中,得到了Quantale中的素根定理.
第三章 Quantale模范畴的代数性.关于Quantale模范畴,本文进一步对其性质进行研究.首先给出了Quantale模的若干性质,讨论了Quantale模范畴的定向极限,并给出其具体结构.其次,讨论了Quantale模范畴中的一些特殊态射,得到了Quantale模范畴是平衡范畴且是极端良幂的与极端余良幂的,在此基础上证明了Quantale模范畴是代数范畴.最后,建立了Quantale模范畴与序$S$-系范畴之间的联系,证明了一类Quantale模范畴是序$S$-系范畴的反射子范畴,即$D(S)$-模范畴是序$S$-系范畴的反射子范畴.
第四章 $Z$-quantale.首先引入了$Z$-quantale的概念,得到了$Z$-quantale范畴是序半群范畴的反射子范畴.其次,给出了凝聚$Z$-quantale的概念,讨论了凝聚$Z$-quantale的一些性质,得到了凝聚$Z$-quantale范畴是$Z$-quantale范畴的余反射子范畴.最后,研究了$Z$-quantale范畴中的投射对象,证明了$Z$-quantale $A$是E-投射的当且仅当它是稳定$Z$-连续的.