题目：关于框架小波可扩展性的研究

        小波分析(wavelet analysis)是20世纪80年代数学与应用数学领域中一个迅速发展起来的新分支,因其在时域与频域上同时具有良好的局部化特性,被誉为信号分析的显微镜,已被广泛应用于信号处理,量子理论,地震勘测,语音识别,CT成像,机械故障诊断等领域.        超小波(super-wavelets)是国内外小波分析理论不断发展,完善的最新研究成果.其发展历史最早可追溯到1999年Balan R.提出的超框架的概念.而后,2000年,Han D.和Larson D.完整地给出了超小波的定义,简单地说,超小波是直和希尔伯特空间Dm中的一个小波.
        与传统的小波分析相比,超小波有许多显著的优点.例如:可构造空间Dm中紧支撑小波的正交基,理论上这些基要比已知的小波基较好;而且利用超小波可以同时压缩多个信号,解决信号的多重性问题,且在压缩过程中给出了最好的压缩比.其应用领域可涉及到图象处理,语音信号处理,数据压缩,高清晰电视系统等.正因为超小波具有重要的理论价值与实际应用价值,现在已成为国内外研究者共同关注的热点.          经过近十年的发展,关于任意长度的超小波的存在性以及规范正交超小波的充要条件都已得到证明,关于规范紧框架小波的可分解性与可扩展性也有一些重要的研究成果.然而,由于超小波理论的发展仍处于初级阶段,目前还存在着许多问题,而且找出规范紧框架小波可扩展的充要条件也比较困难.本文着重对框架小波的可扩展性进行研究,得到一些结论,有助于超小波理论的进一步完善与发展.
        文章的前言部分概述了小波分析及超小波的产生和发展过程.然后是其主体,全文内容共分四章.
        第1章是预备知识.首先给出了文章所要用到的基本定义与引理,其次介绍了本文的主要研究工作.          第2章是超小波简介.由于框架小波的可扩展性与超小波密切相关,我们从超小波的存在性,判定定理,构造方法及应用这四方面简单介绍了超小波.          第3章,主要研究两类可扩展的框架小波,半正交的规范紧框架小波与Frazier-Jawerth类的框架小波.我们阐述了半正交的规范紧框架小波的可扩展性,在此基础上对两个规范紧框架超小波等价的充要条件给予了理论上的证明;同时给出了Frazier-Jawerth类的框架小波的可扩展性理论及具体扩展步骤.          第4章,进一步研究框架小波的可扩展性.首先阐述规范紧框架小波的维数函数的定义及其相关性质,进而得到一个规范紧框架小波可扩展成任何长度超小波的充分条件.此外,给出一个例子和两个推论.