题目：概率计量逻辑

在数理逻辑中, 一个逻辑公式是有真假之分的.　数理逻辑主要是从语构和语义两个角度来判断逻辑公式的真假的,　并最终通过完备性定理将这两个角度的推理和谐地统一起来.但数理逻辑只关心绝对真和绝对假的两类公式(即重言式和矛盾式),而绝大多数公式既不是重言式也不是矛盾式. 为评判一般逻辑公式的真假,美国Stanford大学的Adam教授、Nilsson教授以及IBM研究决策中心的Fagin教授和Halpern教授等把概率的思想引入到命题逻辑系统中提出了公式的概率概念,我导师则利用均匀概率测度空间的无穷可数乘积与单位开区间(0,1)中的随机数列先后提出了公式的真度和随机真度概念,从而分别形成了两门崭新的交叉学科---概率逻辑学和计量逻辑学.在概率逻辑学中公式的概率是由该公式的状态描述集上的概率分布所唯一决定的.当给定不同的概率分布时就得到该公式的不同概率,这固然很好地反映了概念和信息的不确定性,但概率逻辑学只能定义有限个公式的概率而无法在统一的框架下定义全体(无限多)公式的概率.在计量逻辑学中公式的真度是基于均匀概率测度空间的无穷可数乘积从整体上引入的,因而弥补了概率逻辑学只讲局部而缺乏整体性的不足,但真度理论却又有缺少随机性的不足. 为弥补这一不足,我导师又提出了随机真度的概念, 但它仍要求原子公式是独立的. 鉴于此,本文通过视全体赋值之集为通常乘积拓扑空间,利用该空间上的Borel概率测度在命题逻辑系统中引入了公式的概率真度概念.该方法既克服了计量逻辑学要求赋值集上的概率测度必须均匀或独立的局限,又弥补了概率逻辑学只讲局部而缺乏整体性的不足.结果表明计量逻辑学中公式的真度、随机真度以及概率逻辑学中公式的概率均可作为本文提出的公式的概率真度的特例而纳入到统一的框架中,从而实现了计量逻辑学与概率逻辑学的融合和统一.利用公式的概率真度理论还可解决逻辑理论的相容性问题以及程度化推理问题,同时还可把概率真度函数抽象为模态词建立模态推理系统并证明该系统关于概率真度函数的完备性定理.此外, 本文还研究了极大相容理论的性质,给出了几种常用命题逻辑系统中极大相容理论的结构刻画和拓扑刻画.本文又进一步研究了R0-代数中极大滤子的结构性质及拓扑性质,并通过引入Boole元与MV-元以及Boole滤子与MV-滤子建立了R0-代数的Fuzzy Stone拓扑表示定理, 该表示定理是Boole代数Stone拓扑表示定理的自然推广.以上内容便初步建立了概率计量逻辑理论.