题目：开口膜泡形状的研究

摘  要
   在外部环境下，双亲分子水溶液中形成的类脂双层膜可以呈现多种闭合形状。最近实验发现加入一些化学物质比如Talin或去垢剂，在脂膜上能产生稳定的孔，而且也已经发现各种各样的物理技术，如：电子技术，渗透震动，光学镊子等也能在脂膜上形成临时的孔，但是其中的原因不清楚。日本的Hotani研究小组最近发现当某种特殊的膜蛋白(如Talin)分子加入磷脂泡所在的溶液，这时候就会有开口出现在膜上，这是对开口膜泡研究的一大贡献。
近年来，从理论上对开口膜泡的研究也取得了一些进展，周建军博士论文专门讨论了轴对称情况下的开口膜泡，他考虑的自由能是Helfrich自由能，面张力能和开口处线张力的能量之和，对自由能作轴对称的变分，得到了开口泡的形状方程和边界条件。墨西哥的广义相对论研究小组R.Capovilla等人从力学平衡的角度首先给出了开口膜泡的形状方程及其满足的边界条件方程，涂展春和欧阳将外微分法用于处理曲面上的变分问题，重新给出了R.Capovilla等人的结果。周建军和涂展春利用开口膜泡的形状方程及其满足的边界条件方程，用打靶法作了一些初步的数值计算。Y.Suezaki等的工作是在打靶法的基础上对小约化面积差情况下的旋转对称性的形状在SC模型及ADE模型下进行了较详尽的计算。打靶法的优点是计算速度快，其缺陷是无法处理非旋转对称性形状，并且无法对形状的稳定性进行分析。另一方面他们对约化面积差da大于1的形状没有直接计算，而是猜测在ADE模型下此情况下的稳定形状是开口缩到无穷小的球形。
    在极小模型下，开口膜泡的形状确定是曲面曲率能与边界线张力能相互竞争的结果。通常溶液情况下，膜泡的线张力能很大，因而膜泡倾向于形成闭合的膜泡。把Talin加入溶液会显著地减小线张力系数。在线张力系数趋于零的理想情况下，膜会形成平面圆盘，因为在此情形下，膜曲面弹性能和线张力能都为零。而在一般情况下，膜泡形状在这两个极限形状之间变动。当考虑了双层膜的面积差约束后，膜泡的形状一定是在满足给定约束的情况下，曲面曲率能与边界线张力能之和极小的形状，这时会出现许多新的形状。
目前还没有用直接极小化研究开口膜泡的工作，本文将尝试用直接极小化方法对开口膜泡形状进行计算。我们发现膜泡的边界由于可以自由变化，很难得到稳定的形状。为了克服此困难，我们注意到在开口膜泡情况下，由于膜泡两侧是连通的，对闭合膜泡的面积和体积约束只剩下对面积的约束，而由于标度不变性，对面积的约束只改变膜泡的大小，不改变膜泡的形状。另一方面，边界线张力能部分从数学上可以理解成保持边界的长度不变的拉氏项，因而我们可以在另一个系综下进行计算，即固定膜泡的边界，而让膜泡的面积可以自由变化，这两种算法在数学上是等价的。用此方法我们得到了实验上已观察到的形状，并且与以往用打靶法得到的数值计算结果相符。在此基础上我们进一步研究了大约化面积差情况下膜泡的稳定形状，得到了一些旋转对称性及非旋转对称性的形状，我们希望未来的实验能验证这些形状。
我们得到的主要结论如下：
(1) 在约化面积差在0到1变化时，膜泡从平面圆盘形向杯形泡再到开口缩到无穷小的球形演化。这一支解，Y.Suezaki等人已用打靶法进行了计算，尽管他们对膜泡的稳定性没有进行研究。我们得到的形状与他们的结果一致，这说明我们采用的计算方法是可行的。并且我们发现这些形状在BC模型下都是稳定的，在SC模型下通常出现非连续相变，因而有一些形状是不稳定的。并且在有些参数区间，同一个自发曲率对应两个解。
(2)在约化面积差大于1时，我们得到了三个球相连的开口膜泡的形状，尽管这些形状在自发曲率模型下是不稳定的，双层模型下这些形状都是稳定的。
(3)在超大约化面积差时，我们得到了四个球上开口有趣的开口膜泡的形状，在双层模型下进行计算，这样的有趣形状是稳定的。
   本文的第一个研究工作是以以前的理论工作者对开口膜泡的研究得到的形状方程和边界条件为基础，我们固定边长，不固定面积时，利用Surface Evolver软件，一种适合于各种形式能量下的二维形状的模拟研究，来模拟闭合的与开口的膜的形状,对开口膜泡形状进行演化得到一些新的开口膜泡的形状。
  其次，本文对这些形状的稳定性进行分析，与之前所得到的开口膜泡的形状进行比较，发现Talin 分子将影响到开口膜泡边沿处的线张力。